[论文解读] Optimal Enumeration of Eulerian Trails in Directed Graphs

Ben Bals, Solon P. Pissis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2026

Genome Rearrangement Algorithms被引用 0

一句话总结

该论文提出一种简单、时间最优的直接枚举有向图中所有欧拉遍历的算法，时间复杂度为 O(m + z_T)，相比基于 BEST 的计数以及先前的 O(m·z_T) 方法有改进。

ABSTRACT

The BEST theorem, due to de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith, and Tutte, is a classical tool from graph theory that links the Eulerian trails in a directed graph $G=(V,E)$ with the arborescences in $G$. In particular, one can use the BEST theorem to count the Eulerian trails in $G$ in polynomial time. For enumerating the Eulerian trails in $G$, one could naturally resort to first enumerating the arborescences in $G$ and then exploiting the insight of the BEST theorem to enumerate the Eulerian trails in $G$: every arborescence in $G$ corresponds to at least one Eulerian trail in $G$. Instead, we take a simple and direct approach. Our central contribution is a remarkably simple algorithm to directly enumerate the $z_T$ Eulerian trails in $G$ in the \emph{optimal} $O(m + z_T)$ time. As a consequence, our result improves on an implementation of the BEST theorem for counting Eulerian trails in $G$ when $z_T=o(n^2)$, and, in addition, it unconditionally improves the combinatorial $O(m\cdot z_T)$-time algorithm of Conte et al. [FCT 2021] for the same task. Moreover, we show that, with some care, our algorithm can be extended to enumerate Eulerian trails in directed multigraphs in optimal time, enabling applications in bioinformatics and data privacy.

研究动机与目标

• 出于需要在有向图中高效枚举欧拉遍历的动机，超越通过 BEST 定理进行计数。
• 设计一个时间复杂度为 O(m + z_T) 的直接枚举算法。
• 将输出表示压缩为紧凑的状态树，同时保持完整性和正确性。
• 将该方法扩展到有向多重图，以便在生物信息学和数据隐私等应用中使用。

提出的方法

• 引入状态树（一个压缩的欧拉遍历前缀树）作为主要数据结构。
• 提出两条压缩规则（出度为一的收缩与基于 SCC 的规则），将压缩状态树的大小界定为 O(m + z_T)。
• 通过压缩前后遍历之间的双射性证明其正确性。
• 使用类似 DFS 的遍历，通过在完整的 Hierholzer 基础上扩展前缀，并对压缩的剩余图进行常数时间更新。
• 证明压缩状态树仅具有 O(m + z_T) 个状态，从而实现对 z 条遍历的 O(m + z) 枚举。
• 在有向多重图上扩展算法，需小心处理收缩与跨越。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图中的欧拉遍历是否可以在最优时间内直接枚举，而无需枚举树（arborescences）？
• RQ2 哪些压缩策略能够得到大小为 O(m + z_T) 的所有遍历的压缩表示？
• RQ3 在枚举过程中如何高效维护剩余图以支持线性时间的 DFS 遍历？
• RQ4 该方法是否可以扩展到有向多重图，同时保持最优时间复杂度？

主要发现

• 实现了在有向图中以 O(m + z_T) 时间枚举所有欧拉遍历（或最多枚举到 z_T 条遍历）的算法。
• 一个大小为 O(m + z_T) 的压缩状态树足以表示所有遍历；每个叶节点对应一个欧拉遍历。
• 两条压缩规则确保非分支区域被折叠而不损失正确性，从而实现每个状态转移的常数时间更新。
• 相比于 O(m · z_T) 的组合时间算法以及基于 BEST 的计数，在 z_T 相对于 n^2 较小时有明显改进。
• 该方法可推广到有向多重图，扩大了在生物信息学和数据隐私等领域的应用。