[论文解读] Optimal error estimates of a second-order projection finite element method for magnetohydrodynamic equations

Cheng Wang, Jilu Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种用于不可压缩磁流体动力学（MHD）方程的二阶精度、全离散有限元方法，采用改进的Crank–Nicolson格式并以半隐式方式处理非线性项。该方法采用解耦的Van Kan型投影Stokes求解器，确保无条件能量稳定性，并在离散的 $ L^rown(0,T;L^2) $ 范数下证明了速度场和磁场的最优 $ cal{O}( au^2 + h^{r+1}) $ 误差估计。

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze a temporally second-order accurate, fully discrete finite element method for the magnetohydrodynamic (MHD) equations. A modified Crank--Nicolson method is used to discretize the model and appropriate semi-implicit treatments are applied to the fluid convection term and two coupling terms. These semi-implicit approximations result in a linear system with variable coefficients for which the unique solvability can be proved theoretically. In addition, we use a decoupling projection method of the Van Kan type \cite{vankan1986} in the Stokes solver, which computes the intermediate velocity field based on the gradient of the pressure from the previous time level, and enforces the incompressibility constraint via the Helmholtz decomposition of the intermediate velocity field. The energy stability of the scheme is theoretically proved, in which the decoupled Stokes solver needs to be analyzed in details. Optimal-order convergence of $\mathcal{O} (τ^2+h^{r+1})$ in the discrete $L^\infty(0,T;L^2)$ norm is proved for the proposed decoupled projection finite element scheme, where $τ$ and $h$ are the time stepsize and spatial mesh size, respectively, and $r$ is the degree of the finite elements. Existing error estimates of second-order projection methods of the Van Kan type \cite{vankan1986} were only established in the discrete $L^2(0,T;L^2)$ norm for the Navier--Stokes equations. Numerical examples are provided to illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种时间二阶精度、全离散的有限元方法，用于不可压缩MHD方程，以提升计算效率。
• 通过引入一种解耦的投影方法，解决耦合非线性MHD系统求解的挑战，从而降低计算成本。
• 在合理的正则性假设下，为所提出的格式建立严格的理论收敛性和能量稳定性。
• 将现有投影方法的误差估计从先前局限于 $ L^2(0,T;L^2) $ 范数扩展到更强的 $ L^\infty(0,T;L^2) $ 范数。
• 通过数值实验验证理论结果，展示最优收敛率和能量耗散特性。

提出的方法

• 对时间方向采用改进的Crank–Nicolson格式，确保时间方向二阶精度。
• 对流体对流项和耦合项采用半隐式逼近，以线性化系统并保持稳定性。
• 在Stokes求解器中采用Van Kan型解耦投影方法，利用上一时间层的压力梯度计算中间速度场。
• 通过中间速度的Helmholtz分解强制满足不可压缩性约束，从而实现速度场和压力场的独立高效求解。
• 通过分析相应齐次问题，证明了具有变系数的线性系统具有唯一解。
• 对速度和磁场使用 $ r $ 次有限元空间，对压力使用 $ r-1 $ 次有限元空间，以实现空间离散化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为不可压缩MHD方程构造一种全离散的二阶精度有限元方法，同时保证稳定性和最优收敛性？
• RQ2 如何在保持时间二阶精度的前提下，高效处理MHD系统的非线性和耦合特性？
• RQ3 能否设计一种解耦投影格式，使得Stokes求解过程保持无条件能量稳定且计算高效？
• RQ4 能否为这种解耦格式推导出在更强的 $ L^\infty(0,T;L^2) $ 范数下的最优误差估计，而非较弱的 $ L^2(0,T;L^2) $ 范数？
• RQ5 该格式在时间和空间上的收敛速率是多少，是否与理论预测一致？

主要发现

• 所提出的格式在离散的 $ L^\infty(0,T;L^2) $ 范数下对速度和磁场逼近实现了最优收敛阶 $ \mathcal{O}(\tau^2 + h^{r+1}) $。
• 数值实验确认了在 $ \tau = 1/10, 1/20, 1/40, 1/80 $ 条件下的时间方向二阶收敛性，时间收敛阶数分别约为 2.01、2.06 和 2.03。
• 对于二次有限元（$ r=2 $），观测到的空间收敛率约为 3.0，与预测的 $ h^{r+1} $ 速率一致。
• 系统能量随时间单调衰减，证实了定理2.6中证明的无条件能量稳定性。
• 解耦的Stokes求解器通过避免在每个时间步求解非对称线性系统，实现了高效求解。
• 理论分析证实了具有变系数的线性系统具有唯一解，其依据在于齐次形式仅存在零解。