[论文解读] Optimal error estimation for H(curl)-conforming p-interpolation in two dimensions

Alex Bespalov, Norbert Heuer|ArXiv.org|Mar 25, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文通过在三角形和四边形参考单元上使用基于投影的插值算子，建立了二维H(curl)-符合p-插值的最优误差估计。关键贡献在于证明了对任意r > 0的H^r(curl, K)中向量场的最优p-逼近误差界，方法是利用正则化Poincaré型分解，并以最优H^1-符合估计为基础。

ABSTRACT

In this paper we prove an optimal error estimate for the H(curl)-conforming projection based p-interpolation operator introduced in [L. Demkowicz and I. Babuska, p interpolation error estimates for edge finite elements of variable order in two dimensions, SIAM J. Numer. Anal., 41 (2003), pp. 1195-1208]. This result is proved on the reference element (either triangle or square) K for regular vector fields in H^r(curl,K) with arbitrary r>0. The formulation of the result in the H(div)-conforming setting, which is relevant for the analysis of high-order boundary element approximations for Maxwell's equations, is provided as well.

研究动机与目标

• 填补现有H(curl)-符合p-插值误差估计中的空白，这些估计此前为次优或仅限于低正则性场（r ∈ (0,1)）。
• 在三角形和四边形参考单元上，建立Demkowicz与Babuška提出的基于投影的H(curl)-符合插值算子的最优p-收敛速率。
• 将插值算子的适用性扩展至任意正则性r > 0，包括低正则性和高正则性向量场。
• 通过确保H(curl)-符合空间中最优收敛性，为麦克斯韦方程的高阶有限元和边界元方法提供理论基础。

提出的方法

• 该方法依赖于正则化Poincaré型积分算子，将向量场u ∈ H^r(curl, K)分解为无旋分量和正则性更高的分量。
• 首先推导出H^1-符合投影型p-插值算子在H^1半范数下的最优误差估计，作为关键中间结果。
• 通过利用de Rham图的交换性质分析H(curl)-符合插值算子，确保其与旋度和散度算子的一致性。
• 证明过程采用尺度变换和对参考单元（三角形或四边形）的形状正则性假设，通过Bramble-Hilbert引理和尺度变换将结果推广至一般的拟均匀网格。
• 通过旋转对称性推导H(div)-符合设置，利用二维中旋度与散度算子之间的同构关系。
• 分析在参考三角形和参考四边形上分别进行，两种几何形状采用相同的分析技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在三角形和四边形单元上均实现H(curl)-符合p-插值的最优p-收敛速率？
• RQ2 是否可以将误差估计扩展至任意正则性r > 0，超越此前已知的r ∈ (0,1)范围？
• RQ3 基于投影的插值算子如何在保持de Rham图性质的同时实现最优收敛？
• RQ4 在高阶有限元方法背景下，H^1-符合与H(curl)-符合插值误差估计之间存在何种关系？
• RQ5 该结果能否推广至H(div)-符合插值，以用于边界元方法？

主要发现

• 证明了H^1-符合p-插值在H^1半范数下的最优误差估计，对u ∈ H^r(K)（r > 0）的收敛速率为O(p^{-r})。
• H(curl)-符合p-插值算子实现了最优收敛速率‖u − Π_p^{curl}u‖_{H(curl)} ≤ C p^{-r} ‖u‖_{H^r(curl)}，对任意r > 0成立。
• 该结果在参考三角形和参考四边形上均成立，且由于相同的底层结构和尺度关系，误差界完全一致。
• 证明依赖于一种新颖的分解方法，将u ∈ H^r(curl, K)分解为无旋分量和更高正则性分量，利用正则化Poincaré型算子。
• 通过旋转推导出H(div)-符合p-插值算子，其最优误差估计为‖u − Π_p^{div}u‖_{H(div)} ≤ C p^{-r} ‖u‖_{H^r(div)}，对r > 0成立。
• 通过标准尺度变换和Bramble-Hilbert论证，结果可推广至拟均匀网格上的hp-有限元和边界元方法。