[论文解读] Optimal H2 moment matching-based model reduction for linear systems by (non)convex optimization

Ion Necoara, Tudor C. Ionescu|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 27被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种非凸优化框架，通过基于梯度的方法与凸半定规划（SDP）松弛，联合最小化近似误差的H₂-范数，以计算线性系统的最优H₂矩匹配降阶模型。主要贡献是通过误差系统的Gramian矩阵推导出的一阶最优性条件，从而实现收敛性保证的算法，其在误差降低方面优于固定插值点方法，该方法在双摆和CD播放器等基准系统上得到验证。

ABSTRACT

In this paper we compute families of reduced order models that match a prescribed set of moments of a highly dimensional linear time-invariant system. First, we fully parametrize the models in the interpolation points and in the free parameters, and then we fix the set of interpolation points and parametrize the models only in the free parameters. Based on these two parametrizations and using as objective function the H2-norm of the error approximation we derive non-convex optimization problems, i.e., we search for the optimal free parameters and even the interpolation points to determine the approximation model yielding the minimal H2-norm error. Further, we provide the necessary first-order optimality conditions for these optimization problems given explicitly in terms of the controllability and the observability Gramians of a minimal realization of the error system. Using the optimality conditions, we propose gradient type methods for solving the corresponding optimization problems, with mathematical guarantees on their convergence. We also derive convex SDP relaxations for these problems and analyze when the convex relaxations are exact. We illustrate numerically the efficiency of our results on several test examples.

研究动机与目标

• 通过矩匹配方法，为线性时不变系统开发最优H₂-范数模型降阶框架。
• 通过同时优化自由参数与插值点，解决传统矩匹配方法中插值点固定的局限性。
• 推导矩匹配降阶模型族中H₂误差最小化的首阶最优性条件。
• 提出具有收敛性保证的梯度型算法，并利用凸SDP松弛进行全局最优性分析。
• 在标准基准系统上通过数值实验验证该方法，实现显著的H₂误差降低。

提出的方法

• 通过插值点与自由参数对降阶模型进行参数化，随后固定插值点，仅优化自由参数。
• 基于传递函数及其矩，构建最小化误差系统H₂-范数的非凸优化问题。
• 利用误差系统最小实现的可控性与可观测性Gramian矩阵，推导显式的一阶最优性条件。
• 提出用于求解优化问题的梯度型算法，并提供理论收敛性保证。
• 构建凸SDP松弛以逼近非凸问题，并分析松弛结果为精确解的条件。
• 将该框架应用于固定与自由插值点设置，包括通过优化迭代改进插值点。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在基于矩匹配的模型降阶中同时优化插值点与自由参数，以最小化误差的H₂-范数？
• RQ2 在矩匹配降阶模型族中，H₂误差最小化的首阶最优性条件是什么？
• RQ3 如何设计基于梯度的方法，使其在非凸H₂优化问题中收敛至最优解？
• RQ4 在何种条件下，非凸问题的凸SDP松弛是精确的？
• RQ5 在标准基准系统上，该方法与固定插值点方法相比，在H₂误差性能上表现如何？

主要发现

• 与在零点处匹配两个矩的固定插值模型相比，该方法将H₂误差降低了99.5%，误差从1.86×10⁻¹降至0.6232×10⁻⁴。
• 优化插值点（如0.0109±0.0946j）可显著降低H₂误差，优于固定点如0，表明自由点优化的优势。
• 梯度算法收敛至一个稳定降阶模型，其特征值为σ(F) = −0.1624±0.5422，确保稳定性的同时最小化H₂误差。
• SDP松弛为全局最小值提供了紧致上界，且在特定结构条件下可解析刻画其精确性。
• 对于CD播放器系统（120阶），当使用稀疏、低频插值点时，在降阶至ν=10时，该方法的H₂误差低于使用密集插值点的情况。
• 该方法在保持稳定性与矩匹配特性的同时，最小化了误差的H₂-范数，在误差指标上优于标准矩匹配与平衡截断方法。