[论文解读] Optimal immunity control by social distancing for the SIR epidemic model

Pierre‐Alexandre Bliman, Michel Duprez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文将SIR流行病模型的最优控制问题形式化并求解，以通过确定最佳社交疏离策略（特别是封锁的时机和强度）来最小化感染负担，从而在无限时间范围内最大化易感者数量。本文证明了最优控制的存在性与唯一性，并表明在法国2020年封锁条件下，该策略可使最终易感者比例相比无控制传播提高最多30%。

ABSTRACT

Until a vaccine or therapy is found against the SARS-CoV-2 coronavirus, reaching herd immunity appears to be the only mid-term option. However, if the number of infected individuals decreases and eventually fades only beyond this threshold, a significant proportion of susceptible may still be infected until the epidemic is over. A containment strategy is likely the best policy in the worst case where no vaccine or therapy is found. In order to keep the number of newly infected persons to a minimum, a possible strategy is to apply strict containment measures, so that the number of susceptible individuals remains close to herd immunity. Such an action is unrealistic since containment can only last for a finite amount of time and is never total. In this article, using a classical SIR model, we determine the (partial or total) containment strategy on a given finite time interval that maximizes the number of susceptible individuals over an infinite horizon, or equivalently that minimizes the total infection burden during the curse of the epidemic. The existence and uniqueness of the optimal strategy is proved and the latter is fully characterized. If applicable in practice, such a strategy would lead theoretically to an increase by 30% of the proportion of susceptible on an infinite horizon, for a containment level corresponding to the sanitary measures put in place in France from March to May 2020. We also analyze the minimum intervention time to reach a fixed distance from herd immunity, and show the relationship with the previous problem. Simulations are provided that illustrate and validate the theoretical results.

研究动机与目标

• 确定最小化流行期间总感染负担的最优社交疏离政策。
• 在无限时间范围内最大化最终易感者数量，等价于最小化累积感染数。
• 在有限干预窗口内，表征SIR模型中最优控制策略（封锁的时机与强度）。
• 分析达到接近群体免疫阈值所需的时间最小值。
• 通过最优控制问题的数值模拟验证理论结果。

提出的方法

• 构建一个带控制输入的改进SIR模型，其中控制输入分别代表社交疏离（u3）、疫苗接种（u1）和隔离（u2）。
• 提出两个最优控制问题：(Pα,T) 用于在时间T最大化易感者数量，(ePα,T) 用于在无限时间内最小化感染负担。
• 利用庞特里亚金最大值原理推导最优性的必要条件，并将最优控制表征为时间切换控制或奇异控制。
• 采用基于二分法的数值算法求解最优控制问题并计算最优干预时间T*0。
• 利用守恒律 S + I - (ν/β)ln S = 常数 推导出渐近易感者比例S∞的解析公式。
• 通过在长时域（长达200天）内的数值模拟验证结果，比较最优与次优轨迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 在流行病整个过程中，最小化总感染数的最优社交疏离策略是什么？
• RQ2 如何通过实施有限时长的封锁来最大化最终易感者数量？
• RQ3 将易感者群体带至群体免疫阈值固定距离内所需的最短干预时长是多少？
• RQ4 最优控制策略如何依赖于社交疏离的强度（控制参数α）？
• RQ5 理论上的最优控制能否通过数值近似并经由模拟验证？

主要发现

• 最优控制策略为时间切换控制或奇异控制，可在无限时间范围内使易感者数量尽可能接近群体免疫阈值（Sherd = ν/β）。
• 在法国2020年封锁强度（α ≈ 0.231）下，最优策略可使最终易感者比例相比无控制传播提高约30%。
• 最优控制问题存在唯一解，且最优干预时间T*0由感染负担函数jΦ的单峰行为所表征。
• 当控制强度α足够低（α ≈ 0.56）时，可在无限时间内使易感者数量任意接近群体免疫阈值（Sherd）。
• 当T足够大时，若α过高（封锁不足），最优控制无需干预（T*0 = 0），表明疫情无法被有效控制。
• 数值模拟表明，(Pα,T)与(ePα,T)的最优轨迹一致并符合理论预测，验证了分析框架的正确性。