[论文解读] Optimal joint measurement of two observables of a qubit

Sixia Yu, Changhun Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Quantum Mechanics and Applications被引用 3

一句话总结

本文提供了对量子比特中两个不相容可观测量联合测量时最坏情况误差之间精确权衡关系的推导，完整刻画了所有可实现误差对。研究构造了显式的、无需辅助系统（ancilla-free）的最优联合测量，其误差达到理论下限，从而为具有任意误差不对称性的量子比特可观测量提供了紧致的、与态无关的不确定性关系。

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty relations for measurement quantify how well we can jointly measure two complementary observables and have attracted much experimental and theoretical attention recently. Here we provide an exact tradeoff between the worst-case errors in measuring jointly two observables of a qubit, i.e., all the allowed and forbidden pairs of errors, especially asymmetric ones, are exactly pinpointed. For each pair of optimal errors we provide an optimal joint measurement that is realizable without introducing any ancilla and entanglement. Possible experimental implementations are discussed and Toronto experiment [Rozema et al., Phys. Rev. Lett. 109, 100404 (2012)] can be readily adapted to an optimal joint measurement of two orthogonal observables.

研究动机与目标

• 确定联合测量两个不相容量子比特可观测量时所有可能与禁止的最坏情况误差对的完整集合。
• 构造显式的最优联合测量，实现这些最小误差，且无需辅助系统或纠缠。
• 提供一个紧致的、与态无关的不确定性关系，推广先前的界限，尤其适用于误差不对称的情况。
• 使现有实验测试（如多伦多实验）可直接适配以验证精确的误差权衡关系。

提出的方法

• 作者将最坏情况误差定义为在所有输入态上，精确测量与模糊测量的概率分布之间迹距离的最大值。
• 他们通过具有四个结果的正算子值测度（POVM）来建模联合测量，其边缘分布定义了可观测量A和B的模糊版本。
• 利用几何优化方法，通过要求向量 $\vec{a}-\vec{m}$ 和 $\vec{b}-\vec{n}$ 分别与由联合可测量性约束定义的椭球面相切，推导出最优性的条件。
• 通过求解切线条件所导出的方程组，得到最优误差权衡曲线的参数形式，涉及参数 $\varphi$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 之间的夹角 $\theta$。
• 解出 $\mathcal{E}_a$ 和 $\mathcal{E}_b$ 关于 $\theta$、$\varphi$ 以及点积 $C = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 的显式表达式，其中选择 $\mu = \nu = 1$ 以实现最小化。
• 误差权衡曲线被证明是线性边界族 $\epsilon_a \sin\varphi + \epsilon_b \cos\varphi \geq \sqrt{1 + \sin\theta \sin 2\varphi} - 1$ 的包络线。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于联合测量两个不相容的量子比特可观测量，所有可能的最坏情况误差对的精确集合是什么？
• RQ2 是否可以构造出无需辅助系统或纠缠的最优联合测量，同时达到误差权衡边界的饱和？
• RQ3 在误差不对称条件下，误差权衡关系如何表现？当一个可观测量以最小误差测量时，另一个可观测量的最小可实现误差是多少？
• RQ4 所推导的权衡曲线是否为最紧致的？它是否推广了如BLW和界等先前的界限？
• RQ5 现有的实验装置（如多伦多实验）是否可直接适配以测试精确的误差权衡？

主要发现

• 对于测量两个量子比特可观测量 $A = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ 和 $B = \vec{b} \cdot \vec{\sigma}$，最坏情况误差 $\mathcal{E}_a$ 与 $\mathcal{E}_b$ 之间的精确权衡关系由参数曲线 $\mathcal{E}_a = \sqrt{1 - C^2 \cos^2\varphi} - \sin\varphi$，$\mathcal{E}_b = \sqrt{1 - C^2 \sin^2\varphi} - \cos\varphi$ 给出，其中 $C = \vec{m} \cdot \vec{n}$，$\theta = \angle(\vec{a}, \vec{b})$。
• 当 $\mu = \nu = 1$ 时达到最优误差对，确保两个可观测量的误差均达到最小可能值。
• 误差权衡曲线是所有 $\varphi \in [0, \pi/2]$ 下的线性边界族 $\epsilon_a \sin\varphi + \epsilon_b \cos\varphi \geq \sqrt{1 + \sin\theta \sin 2\varphi} - 1$ 的包络线，该关系在 $\varphi = \pi/4$ 时推广了BLW和界。
• 对于正交可观测量（$\theta = \pi/2$），当一个可观测量无误差测量时，另一个的最小误差为 $\sin\theta = 1$，且最优误差对位于曲线 $\mathcal{E}_a^2 + \mathcal{E}_b^2 = 2 - 2\sqrt{1 - \mathcal{E}_a^2\mathcal{E}_b^2}$ 上。
• 最优联合测量可通过无需辅助系统或纠缠的POVM实现，具有实验可行性。
• 最坏情况误差 $\mathcal{E}_a = |x| + |\vec{a} - \vec{m}|$ 与 $\mathcal{E}_b = |y| + |\vec{b} - \vec{n}|$ 是与态无关的，并完全表征了测量装置的内在精度。