[论文解读] Optimal Label Splitting for Embedding an LTS into an arbitrary Petri Net Reachability Graph is NP-complete

Uli Schlachter, Harro Wimmel|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Petri Nets in System Modeling参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文证明，当最小化不同标签数量时，将带标签的转移系统（LTS）嵌入佩特里网可达性图的最优标签分割问题是 NP 完全问题。虽然通过标签分割进行嵌入始终是可能的，但最小化标签数量会将原本可在多项式时间内求解的问题转变为 NP 完全问题，揭示了佩特里网行为模型综合中的根本性复杂性权衡。

ABSTRACT

For a given labelled transition system (LTS), synthesis is the task to find an unlabelled Petri net with an isomorphic reachability graph. Even when just demanding an embedding into a reachability graph instead of an isomorphism, a solution is not guaranteed. In such a case, label splitting is an option, i.e. relabelling edges of the LTS such that differently labelled edges remain different. With an appropriate label splitting, we can always obtain a solution for the synthesis or embedding problem. Using the label splitting, we can construct a labelled Petri net with the intended bahaviour (e.g. embedding the given LTS in its reachability graph). As the labelled Petri net can have a large number of transitions, an optimisation may be desired, limiting the number of labels produced by the label splitting. We show that such a limitation will turn the problem from being solvable in polynomial time into an NP-complete problem.

研究动机与目标

• 研究通过标签分割将 LTS 嵌入佩特里网可达性图时，引入的标签数量最小化问题的计算复杂性。
• 确定限制标签分割中的标签数量是否会使嵌入问题的计算复杂度高于标准嵌入问题。
• 确立即使允许通过嵌入而非精确同构的方式进行过近似，该问题仍保持 NP 完全性。
• 通过从子集和问题到最优标签分割问题的正式约化，证明 NP 难度。

提出的方法

• 构建一个具有六个结构组件的通用 LTS，包括辅助链和基于子集和问题的核心结构。
• 使用标记变化（区域值）定义基于区域的约束，以建模可达性图中状态分离问题（SSP）的可解性。
• 通过从子集和问题到 NP 难度的多项式时间约化来证明 NP 难度，其中 SSP 的可解性对应于有效的子集和解。
• 证明任何最多包含 q = 2n + k + 11 个标签的有效标签分割必须恰好重标记每个 γi 对中的一个标签，从而反映子集和约束。
• 通过证明可通过检查所有状态分离问题的可解性，在多项式时间内验证候选标签分割，从而证明问题属于 NP。
• 利用区域理论，形式化证明可达性图嵌入的存在性与所有状态分离问题（SSP）可解性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 寻找最小化标签数量的标签分割以实现 LTS 嵌入佩特里网可达性图的问题是否计算上困难？
• RQ2 限制标签分割中的标签数量是否会将嵌入问题的复杂度从多项式时间提升至 NP 完全？
• RQ3 能否将子集和问题约化为最优标签分割问题，从而确立其 NP 难度？
• RQ4 当允许通过嵌入而非要求与可达性图同构的方式进行过近似时，NP 完全性结果是否仍然成立？
• RQ5 相同的约化技术是否可适配到其他变体（如边删除而非标签分割）以获得类似的复杂性结果？

主要发现

• 在最小化标签数量的同时实现 LTS 嵌入佩特里网可达性图的最优标签分割问题是 NP 完全的。
• 即使允许通过嵌入方式实现过近似，最小化标签数量仍会使问题变为 NP 完全，表明存在根本性的复杂性障碍。
• 具有恰好 q = 2n + k + 11 个标签的有效标签分割必须恰好重标记每个 γi 对中的一个标签，这对应于底层子集和问题的解。
• 从子集和问题到标签分割问题的约化是多项式时间的，确认了 NP 难度。
• 该构造确保 LTS 中所有状态分离问题（SSP）的可解性等价于可达性图嵌入的存在性。
• 该结果意味着精确合成（与可达性图同构）可能并不比嵌入更容易，尽管这仍是未经证明的猜想。