[论文解读] Optimal linear stability condition for scalar differential equations with distributed delay

Samuel Bernard, Fabien Crauste|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 50被引用 10

一句话总结

本文证明，对于具有分布时滞的标量线性微分方程，若对应的单个离散时滞方程稳定，则其渐近稳定性可得到保证——提供了一种鲁棒且与分布无关的稳定性准则。关键贡献在于，离散时滞是最具破坏性的情况，因此在离散时滞下保持稳定，即可确保在任意具有相同均值的分布时滞下也保持稳定。

ABSTRACT

Linear scalar differential equations with distributed delays appear in the study of the local stability of nonlinear differential equations with feedback, which are common in biology and physics. Negative feedback loops tend to promote oscillations around steady states, and their stability depends on the particular shape of the delay distribution. Since in applications the mean delay is often the only reliable information available about the distribution, it is desirable to find conditions for stability that are independent from the shape of the distribution. We show here that for a given mean delay, the linear equation with distributed delay is asymptotically stable if the associated differential equation with a discrete delay is asymptotically stable. We illustrate this criterion on a compartment model of hematopoietic cell dynamics to obtain sufficient conditions for stability.

研究动机与目标

• 确定与时滞分布形状无关的标量线性微分方程在分布时滞下的稳定性条件。
• 解决在生物和物理模型中通常仅知时滞均值而不知完整分布的挑战。
• 解决关于离散时滞是否为这类系统中最具破坏性时滞分布的开放问题。
• 为诸如造血细胞动力学等模型提供一种实用且计算可行的稳定性准则。
• 证明在离散时滞下稳定可推出在任意具有相同均值的分布时滞下也稳定。

提出的方法

• 分析具有分布时滞的标量泛函微分方程的线性化形式：$ \dot{x} = -a x - b \int_0^\infty x(t - \tau) \, d\eta(\tau) $，其中 $ \eta $ 是累积分布函数。
• 将分布时滞系统的稳定性与具有单个离散时滞 $ \tau = \mu $ 的等效系统进行比较，其中 $ \mu $ 是分布的均值。
• 应用线性滞后型泛函微分方程理论和特征值分析，以确定渐近稳定性的条件。
• 利用从线性化系统导出的特征方程，比较离散时滞与分布时滞情况下特征值的位置。
• 在特定情况下（如指数分布和伽马分布）应用奈奎斯特准则和小增益定理，以验证一般性结果。
• 通过具有分布时滞和离散时滞的造血干细胞动力学的隔室模型验证理论发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 标量线性微分方程在分布时滞下的稳定性是否依赖于时滞分布的具体形状？
• RQ2 能否推导出仅依赖于时滞均值的稳定性条件，而无需了解完整的分布？
• RQ3 对于此类系统，离散时滞是否是最具破坏性的时滞分布？
• RQ4 在离散时滞下稳定是否意味着在任意具有相同均值的分布时滞下也稳定？
• RQ5 该结果如何应用于具有反馈回路的生物模型（如造血细胞动力学）？

主要发现

• 对于任意给定的均值时滞 $ \mu $，若具有单个离散时滞 $ \tau = \mu $ 的线性方程是渐近稳定的，则具有相同均值的任意分布时滞方程也同样是渐近稳定的。
• 离散时滞分布是最具破坏性的：若系统在离散时滞下不稳定，则在任意具有相同均值的分布时滞下也保持不稳定。
• 在具有中性或负协同作用的造血细胞模型中，若中性协同作用（$ r=1 $）下条件 $ E_p := \sum_{i=1}^3 p_i \frac{q_i}{\beta_i} < \frac{k_0 \pi}{2 \alpha h(k_0 - \alpha)} $ 成立，则正平衡点是线性渐近稳定的。
• 对于负协同作用（$ 0 \leq r < 1 $），若 $ \bar{x}^{h+1-r} \leq \frac{k_0(1-r)}{\alpha h} $，或该不等式不成立但条件（31）成立，则正平衡点是稳定的。
• 数值模拟表明，当离散时滞系统稳定时，分布时滞系统也保持稳定，但反之不成立——证实了离散时滞更具破坏性。
• 该结果意味着，使用分布时滞比使用离散时滞更难再现实验中观察到的周期性振荡，因为振荡需要破坏平衡点的稳定性。