[论文解读] Optimal locally repairable codes via elliptic curves

Xudong Li, Liming Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Coding theory and cryptography被引用 7

一句话总结

该论文通过利用有限域上椭圆曲线的自同构群，构建了长度超过 $q+1$ 的 $q$-元局部可修复码。通过选取自同构群特定子群下的子域并对其有理点进行函数求值，作者实现了长度达 $q + 2\sqrt{q}$、局部性 $r \leq 23$ 且满足 Singleton 型界的最优距离的码。

ABSTRACT

Constructing locally repairable codes achieving Singleton-type bound (we call them optimal codes in this paper) is a challenging task and has attracted great attention in the last few years. Tamo and Barg \cite{TB14} first gave a breakthrough result in this topic by cleverly considering subcodes of Reed-Solomon codes. Thus, $q$-ary optimal locally repairable codes from subcodes of Reed-Solomon codes given in \cite{TB14} have length upper bounded by $q$. Recently, it was shown through extension of construction in \cite{TB14} that length of $q$-ary optimal locally repairable codes can be $q+1$ in \cite{JMX17}. Surprisingly it was shown in \cite{BHHMV16} that, unlike classical MDS codes, $q$-ary optimal locally repairable codes could have length bigger than $q+1$. Thus, it becomes an interesting and challenging problem to construct $q$-ary optimal locally repairable codes of length bigger than $q+1$. In the present paper, we make use of rich algebraic structures of elliptic curves to construct a family of $q$-ary optimal locally repairable codes of length up to $q+2\sqrt{q}$. It turns out that locality of our codes can be as big as $23$ and distance can be linear in length.

研究动机与目标

• 构建长度大于 $q+1$ 的 $q$-元最优局部可修复码，此前该长度被认为是一个理论极限。
• 克服基于 Reed-Solomon 码及其扩展的先前构造在长度上的限制（上限为 $q$ 或 $q+1$）。
• 利用有限域上椭圆曲线丰富的代数结构，特别是其自同构群与有理点分布，以实现更长的码长。
• 在保持较小字母表大小和实际局部性参数的同时，实现局部可修复码的最优距离。
• 证明对于特定的素幂 $q=p^a$ 且 $a$ 为偶数时，$q$-元最优局部可修复码的长度可超过经典 $q+1$ 边界。

提出的方法

• 构造使用一个由 Weierstrass 方程定义的最大椭圆曲线 $\mathfrak{E}/\mathbb{F}_q$，其自同构群为 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{E}/\mathbb{F}_q)$。
• 选取自同构群的一个子群 $\mathcal{G}$，使得 $x$-坐标在 $\mathcal{G}$ 作用下的轨道大小为 2，从而通过特定群作用确保局部性 $r=2$ 或奇数 $r$。
• 在函数域 $\mathbb{F}_q(\mathfrak{E})$ 上构造一个子域 $F$，作为 $\mathcal{G}$ 作用下的固定域，并从 $F$ 和 $\mathbb{F}_q(\mathfrak{E})$ 中选取函数进行求值。
• 通过在 $\mathfrak{E}$ 的有理点上求值这些函数，定义代数几何码，求值点的数量决定了码的长度。
• 码长受 $\mathfrak{E}$ 上有理点数量的限制，对于最大曲线，其数量为 $q + 1 + 2\sqrt{q}$，从而实现长度达 $q + 2\sqrt{q}$。
• 对于奇数局部性 $r$，该方法使用阶为 $r+1$ 的子群，并在 $x$-坐标上具有特定轨道结构，构造通过命题 4.4 及具体示例得到验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造长度大于 $q+1$ 的 $q$-元最优局部可修复码？
• RQ2 有限域与代数曲线中的哪些代数结构可被用于突破最优局部可修复码中 $q+1$ 的长度限制？
• RQ3 如何利用椭圆曲线的自同构群来控制局部性并确保满足 Singleton 型界的最优性？
• RQ4 此类构造存在的 $q=p^a$ 与局部性 $r$ 的必要条件是什么？
• RQ5 能否实现 $r > 2$ 且长度达 $q + 2\sqrt{q}$ 的最优局部可修复码的显式构造？

主要发现

• 该论文成功构造了长度达 $q + 2\sqrt{q}$ 的 $q$-元最优局部可修复码，突破了此前 $q+1$ 的上限。
• 当 $q = p^a$ 且 $p=3$ 或 $p \equiv 2 \pmod{3}$ 且 $a$ 为偶数时，存在最优 $[n=3\ell, k=2t+1, d=n-3t]$ 码，局部性 $r=2$，且 $\ell \leq \left\lfloor \frac{q+2\sqrt{q}}{3} \right\rfloor$。
• 对于奇数局部性 $r=3,5,7,11,23$，在特定 $p$ 与 $r$ 条件下，存在最优 $[n=(r+1)\ell, k=r(t-1)+1, d=n-(t-1)(r+1)]$ 码，且 $\ell \leq \left\lfloor \frac{q+2\sqrt{q}-r-2}{r+1} \right\rfloor$。
• 以 $q=64$ 为例，可构造出 $[80, 3t+2, 80-4(t-1)]$ 码，局部性 $r=3$，且对 $1 \leq t \leq 20$ 成立，其性能超过定理 1.2 中的理论界限，归因于有利的曲线结构。
• 通过在 Singleton 型界中取等号，该构造实现了最优距离，证实了码的最优性。
• 该方法成功推广了基于 Reed-Solomon 码及其扩展的先前构造，实现了更长的码长，同时保持了实际的字母表大小。