[论文解读] Optimal location of resources maximizing the total population size in logistic models

Idriss Mazari, Grégoire Nadin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 35被引用 40

一句话总结

本文研究如何分配空间资源以在具有异质环境的稳态逻辑-扩散模型中最大化总人口，并证明大扩散下的 bang-bang 最优性并详述集中/碎裂行为，且在 1D 下给出精确结果。

ABSTRACT

In this article, we consider a species whose population density solves the steady diffusive logistic equation in a heterogeneous environment modeled with the help of a spatially non constant coefficient standing for a resources distribution. We address the issue of maximizing the total population size with respect to the resources distribution, considering some uniform pointwise bounds as well as prescribing the total amount of resources. By assuming the diffusion rate of the species large enough, we prove that any optimal configuration is bang-bang (in other words an extreme point of the admissible set) meaning that this problem can be recast as a shape optimization problem, the unknown domain standing for the resources location. In the one-dimensional case, this problem is deeply analyzed, and for large diffusion rates, all optimal configurations are exhibited. This study is completed by several numerical simulations in the one dimensional case.

研究动机与目标

• 研究空间资源分布 m(x) 如何影响稳态扩散-逻辑模型中的总人口规模。
• 在大扩散下，确定最优资源分布是否为 bang-bang（极端：0 或 kappa）。
• 分析扩散变化时最优资源分布的集中与碎裂现象。
• 在有界资源类中建立极大值的存在性与定性性质。
• 将结果专门化为1D情形，以在大扩散下得到显式极大值。

提出的方法

• 用稳态逻辑-扩散方程 mu Δ theta + (m - theta) theta = 0 在 Ω 中，边界条件为 Neumann。
• 将总人口泛函 F_mu(m) 定义为 Ω 上 θ 的平均值，并在 M_{m0,kappa}(Ω) 上寻求最大化。
• 利用伴随状态 p_{m,mu} 的一阶最优性条件推导稳态性与饱和性质（phi_{m,mu} = θ p）。
• 在扩散系数 mu 下，发展 θ_{m,mu} 的新颖渐近展开以证明 F_mu 在大 mu 时的凸性，从而得到 bang-bang 极大值。
• 利用重排不等式与 Gamma 收敛（特别是到一个能量型的极限问题）来研究大 mu 时的集中行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩散较大时，最优资源分布 m* 是否能使总人口规模达到最大？m* 是否一定为 bang-bang？
• RQ2 大扩散如何影响最优资源分布的空间集中或碎裂？
• RQ3 在一维情形下，是否能为大扩散表征出显式的极大值，以及存在多少个极大值？
• RQ4 在小扩散下，碎裂是否比集中更有利，与同质特征值优化的结果有何对比？
• RQ5 总人口极大值的极大点与极限（Gamma 收敛）问题在 mu -> ∞ 时有什么关系？

主要发现

• 在大扩散 mu 时，总人口泛函 F_mu 变成严格凸，且任何极大值都为 bang-bang（几乎处处取值为 0 或 kappa）。
• 极大值 m* 对应 Ω 的固定测度子集 E，使问题可重新表述为形状优化。
• 一个 Gamma 收敛结果表明，当 mu -> ∞ 时，极大值的任意 L1-闭包点解一个极限能量最小化问题；极限在二维正交体中偏向集中。
• 在1D情形下，当 mu 足够大时，极大值收敛为两种阶跃函数之一：m = kappa 在 (1-l,1) 上，或其镜像。
• 对于小 mu，碎裂可优于简单的集中，即双峰资源分布可以产生比单区间资源更大的总人口。
• 结果表明，在大扩散下存在 bang-bang 最优性；而在小扩散区间存在碎裂可能；在大扩散情形下，在二维正交体中观察到集中。