[论文解读] Optimal lower bounds on hitting probabilities for non-linear systems of stochastic fractional heat equations

Robert C. Dalang, Fei Pu|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文為由时空白噪声驱动的非线性随机分数阶热方程系统建立了命中概率的精确下界。通过使用马利avin微积分和一种新颖的高斯型两点半密度上界，证明了在非高斯情形下，命中概率的精确性与高斯情形相当，以牛顿容量为衡量标准，从而扩展了对经典随机热方程结果的研究。

ABSTRACT

We consider a system of $d$ non-linear stochastic fractional heat equations in spatial dimension $1$ driven by multiplicative $d$-dimensional space-time white noise. We establish a sharp Gaussian-type upper bound on the two-point probability density function of $(u(s, y), u (t, x))$. From this result, we deduce optimal lower bounds on hitting probabilities of the process $\{u(t, x): (t, x) \in [0, \infty[ imes \mathbb{R}\}$ in the non-Gaussian case, in terms of Newtonian capacity, which is as sharp as that in the Gaussian case. This also improves the result in Dalang, Khoshnevisan and Nualart [ extit{Probab. Theory Related Fields} extbf{144} (2009) 371--424] for systems of classical stochastic heat equations. We also establish upper bounds on hitting probabilities of the solution in terms of Hausdorff measure.

研究动机与目标

• 推导非线性随机分数阶热方程系统在乘法型时空白噪声下的命中概率最优下界。
• 将经典随机热方程（α=2）的现有结果扩展至更一般的分数阶情形（1<α≤2）。
• 建立在非高斯情形下命中概率的精确性与高斯情形相当，以牛顿容量作为容量准则。
• 通过在非线性、分数阶设定下提供更紧致的界限，改进Dalang、Khoshnevisan与Nualart（2009）的先前结果。
• 利用Hausdorff测度推导命中概率的上界，从而对解的取值范围提供几何表征。

提出的方法

• 利用马利avin微积分技术，推导解过程 (u(s,y), u(t,x)) 的两点半概率密度函数的精确高斯型上界。
• 应用马利avin微积分框架分析解的分布及其增量的正则性，特别关注马利avin导数。
• 使用分数阶抛物度量 Δα((t,x);(s,y)) = |t−s|^{(α−1)/(2α)} + |x−y|^{(α−1)/2} 来刻画Hölder连续性与矩估计。
• 结合Green函数核 Gα(t,x) 的估计，运用Gronwall引理控制马利avin导数的增长并推导矩界。
• 通过随机积分与Green函数的傅里叶分析，建立解及其马利avin导数的矩估计。
• 应用容量理论方法，特别是牛顿容量与Hausdorff测度，表征解取值范围的命中概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性随机分数阶热方程系统在乘法型时空白噪声下，其命中概率的最优下界是什么？
• RQ2 这些命中概率与高斯情形下的结果相比如何？能否通过牛顿容量进行表征？
• RQ3 在非高斯情形下，命中概率界限的精确性是否可通过容量理论方法与高斯情形相匹配？
• RQ4 分数阶参数 α∈(1,2] 在决定解的正则性与命中行为方面起到何种作用？
• RQ5 命中概率的上界如何与解取值范围的Hausdorff测度相关联？

主要发现

• 本文建立了解过程 (u(s,y), u(t,x)) 的两点半过渡密度的精确高斯型上界。
• 该密度上界导致在非高斯情形下命中概率的最优下界，其精确性与高斯情形在牛顿容量意义下相当。
• 解在紧集 I×J 上的命中概率下界由该集合的牛顿容量决定，且为正的常数。
• 本结果改进了Dalang、Khoshnevisan与Nualart（2009）的工作，将他们的界限从经典情形（α=2）推广至分数阶情形（1<α≤2）。
• 通过Hausdorff测度推导出命中概率的上界，从而对解的取值范围提供了几何表征。
• 本文证明了解的马利avin导数满足指数 β<1−2(α+1)/(p(α−1)) 的Hölder型矩估计，从而可应用Kolmogorov连续性定理以保证正则性。