[论文解读] Optimal LZ-End Parsing Is Hard

Hideo Bannai, Mitsuru Funakoshi+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Natural Language Processing Techniques被引用 1

一句话总结

本文通过从顶点覆盖问题约化，证明了计算最优LZ-End解析——即在LZ-End约束下具有最少短语数的解析——是NP完全问题。此外，本文提出了一个MAX-SAT公式用于精确计算，并建立了贪心LZ-End解析相对于最优解析的近似比下界为2，表明对于某些二进制字符串，该比值渐近趋近于2。

ABSTRACT

LZ-End is a variant of the well-known Lempel-Ziv parsing family such that each phrase of the parsing has a previous occurrence, with the additional constraint that the previous occurrence must end at the end of a previous phrase. LZ-End was initially proposed as a greedy parsing, where each phrase is determined greedily from left to right, as the longest factor that satisfies the above constraint~[Kreft & Navarro, 2010]. In this work, we consider an optimal LZ-End parsing that has the minimum number of phrases in such parsings. We show that a decision version of computing the optimal LZ-End parsing is NP-complete by showing a reduction from the vertex cover problem. Moreover, we give a MAX-SAT formulation for the optimal LZ-End parsing adapting an approach for computing various NP-hard repetitiveness measures recently presented by [Bannai et al., 2022]. We also consider the approximation ratio of the size of greedy LZ-End parsing to the size of the optimal LZ-End parsing, and give a lower bound of the ratio which asymptotically approaches $2$.

研究动机与目标

• 确定在LZ-End约束下寻找最优LZ-End解析的计算复杂度，即满足最少短语数的解析。
• 通过MAX-SAT公式开发一种精确计算最优LZ-End解析的方法。
• 分析贪心LZ-End解析与最优解析之间的近似比，特别是其最坏情况下的性能表现。

提出的方法

• 将顶点覆盖问题约化为最优LZ-End解析的判定版本，以证明其NP完全性。
• 构建一个包含O(n²)个变量和O(n²)个子句的MAX-SAT实例，以编码有效LZ-End解析的约束条件。
• 使用软子句和基数约束来编码解析中的短语选择与引用规则。
• 施加约束条件，确保每个短语要么开始一个新字符，要么引用一个在短语边界结束的后缀。
• 采用线性大小编码来处理基数约束，以保持CNF规模可控。
• 分析一族二进制字符串，推导出贪心解析与最优解析大小之间比值的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算最优LZ-End解析的问题是否为NP完全问题？
• RQ2 能否通过MAX-SAT公式精确计算最优LZ-End解析？
• RQ3 贪心LZ-End解析与最优解析之间的最坏情况近似比是多少？
• RQ4 贪心解析大小与最优解析大小的比值能否在渐近意义上超过2？

主要发现

• 计算最优LZ-End解析的判定问题为NP完全问题，通过从顶点覆盖问题的约化得到证明。
• 包含O(n²)个变量和O(n²)个子句的MAX-SAT公式可实现最优LZ-End解析的精确计算。
• 对于一族二进制字符串，贪心LZ-End解析大小（ze）与最优解析大小（zend）的比值渐近趋近于2。
• 在假设对所有字符串均有ze ≤ 2zno成立的前提下，比值ze/zend的下界2是紧的。
• 该构造表明，贪心解析与最优解析之间的差距可任意远离，其差距趋近于2倍。
• 该结果意味着在最坏情况下，贪心LZ-End解析无法保证其近似比优于2的常数倍。