[论文解读] Optimal $\mathcal{L}_2$ discrepancy bounds for higher order digital sequences over the finite field $\mathbb{F}_2$

Josef Dick, Friedrich Pillichshammer|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2012

Mathematical Approximation and Integration参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文提出了有限域 𝔽₂ 上高阶数字序列的显式构造，其在无限序列和有限点集下均达到最优的 𝒪(N⁻¹(log N)^(s/2)) 和 𝒪(N⁻¹(log N)^{(s-1)/2}) 的 discrepancy 上界，与已知的下界一致。结果基于数字网理论、交织技术以及 Walsh 空间中指数和的精确分析得出，首次实现了在任意维度 s 下达到 𝒪₂ discrepancy 最佳收敛速率的显式构造。

ABSTRACT

We show that the $\mathcal{L}_2$ discrepancy of the explicitly constructed infinite sequences of points $(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,...)$ in $[0,1)^s$ over $\mathbb{F}_2$ introduced in [J. Dick, Walsh spaces containing smooth functions and quasi-Monte Carlo rules of arbitrary high order. SIAM J. Numer. Anal., {\bf 46}, 1519--1553, 2008] satisfy $$\mathcal{L}_{2,N}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,..., \boldsymbol{x}_{N-1}\}) \le C_s N^{-1} (\log N)^{s/2} \quad {for all} N \ge 2,$$ and $$\mathcal{L}_{2,2^m}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,..., \boldsymbol{x}_{2^m-1}\}) \le C_s 2^{-m} m^{(s-1)/2} \quad {for all} m \ge 1,$$ where $C_s > 0$ is a constant independent of $N$ and $m$. These results are best possible by lower bounds in [P.D. Proinov, On the $L^2$ discrepancy of some infinite sequences. Serdica, {\bf 11}, 3--12, 1985] and [K. F. Roth, On irregularities of distribution. Mathematika, {\bf 1}, 73--79, 1954]. Further, for every $N \ge 2$ we explicitly construct finite point sets $\{\boldsymbol{y}_0,..., \boldsymbol{y}_{N-1}\}$ in $[0,1)^s$ such that $$\mathcal{L}_{2,N}(\{\boldsymbol{y}_0,\boldsymbol{y}_1,..., \boldsymbol{y}_{N-1}\}) \le C_s N^{-1} (\log N)^{(s-1)/2}.$$ Another solution for finite point sets by a different construction was previously shown in [W. W. L. Chen and M. M. Skriganov, Explicit constructions in the classical mean squares problem in irregularity of point distribution. J. Reine Angew. Math., {\bf 545}, 67--95, 2002].

研究动机与目标

• 弥合高维空间中具有最优 𝒪₂ discrepancy 的点集存在性证明与显式构造之间的长期空白。
• 证明此前猜想的 𝒪₂ discrepancy 最优阶量级可通过显式、可构造的序列实现。
• 通过在 𝔽₂ 上构造高阶数字序列，扩展数字网与序列的理论，使其达到最优的 discrepancy 上界。
• 提供一种构造性证明，与 Roth（1954）和 Proinov（1985）建立的下界一致，确认无限序列的速率 (log N)^{s/2}/N 和有限点集的速率 (log N)^{(s-1)/2}/N 的最优性。

提出的方法

• 利用 Walsh 空间性质构造的显式生成矩阵，在 𝔽₂ 上构建无限高阶数字序列。
• 应用数位交织复合技术，将低阶网转换为具有更优 discrepancy 性质的高阶数字网。
• 通过 Parseval 恒等式与正交关系，利用 Walsh 空间中的指数和估计来界定 𝒪₂ discrepancy。
• 通过数字网及其对偶结构，利用局部 discrepancy 函数的 L² 范数分析 discrepancy。
• 将 discrepancy 上界简化为 dyadic 区间与指数和的求和，随后利用系数的衰减性质进行估计。
• 将 Chen 与 Skriganov（2002）的技术适配至有限点集，通过缩放与截断方法，推导出对任意 N 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 [0,1)^s 中对任意 N ≥ 2 和 s ≥ 1，通过显式构造的点集实现最优的 𝒪₂ discrepancy 速率 (log N)^{(s-1)/2}/N？
• RQ2 𝔽₂ 上的高阶数字序列是否能实现无限序列下最优的 𝒪₂ discrepancy 上界，其阶为 (log N)^{s/2}/N，与 Proinov 的下界一致？
• RQ3 能否使用在 𝔽₂ 上的确定性、显式方法，构造出 𝒪₂ discrepancy 为 O(N⁻¹(log N)^{(s-1)/2}) 的有限点集？
• RQ4 能否通过单一构造，使高阶数字序列的 discrepancy 对所有 N（而不仅 2 的幂）实现一致有界？
• RQ5 所构造的序列是否与无限序列和有限点集的已知下界一致，从而确认其最优性？

主要发现

• 所构造的无限序列的 𝒪₂ discrepancy 满足 𝒪₂,N ≤ C_s N⁻¹ (log N)^{s/2}，对所有 N ≥ 2 成立，与 Proinov 的下界一致。
• 当 N = 2^m 为 dyadic 长度时，discrepancy 上界进一步优化为 𝒪₂,2^m ≤ C_s 2^{-m} m^{(s-1)/2}，在 dyadic 情况下确认了最优性。
• 对每个 N ≥ 2，均显式构造出大小为 N 的有限点集，其 𝒪₂,N ≤ C_s N⁻¹ (log N)^{(s-1)/2}，达到了目前已知的最佳速率。
• 该构造利用数位交织与 𝔽₂ 上高阶数字网的性质，确保了均匀分布与最优 discrepancy。
• 结果确认了此前猜想的 𝒪₂ discrepancy 最优收敛速率可通过显式、确定性构造实现。
• 分析表明，discrepancy 上界至多相差一个与维度相关的常数，与 Roth 和 Proinov 的已知下界一致。