[论文解读] Optimal minimax bounds for time and ensemble averages for the incompressible Navier-Stokes equations

Ricardo Rosa, Roger Témam|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2020

Navier-Stokes equation solutions被引用 5

一句话总结

本文通过基于对偶的优化框架，为不可压缩纳维-斯托克斯方程的时间平均和系综平均建立了最优极小极大界。该工作将有限维极小极大结果推广至无限维耗散系统，通过柱状测试泛函与系统律的对偶性，构造出精确的上界，且在无需显式解知识的情况下实现最优性。

ABSTRACT

Obtaining sharp estimates for quantities involved in a given model is an integral part of the modeling process. For dynamical systems whose orbits display a complicated, perhaps chaotic, behaviour, the aim is usually to estimate time or ensemble averages of given quantities. This is the case, for instance, in turbulent flows. In this work, the aim is to present a minimax optimization formula that yields optimal bounds for time and/or ensemble averages for the two- and three-dimensional Navier-Stokes equations. The results presented here are extensions to the infinite-dimensional setting of a recent result on the finite-dimensional case given by Tobasco, Goluskin, and Doering in 2017. The optimal result occurs in the form of a minimax optimization problem and does not require knowledge of the solutions, only the law of the system. The minimax optimization problem appears in the form of a maximization over a portion of the phase space of the system and a minimization over a family of auxiliary functions made of cylindrical test functionals defined on the phase space. The function to be optimized is the desired quantity plus the duality product between the law of the system and the derivative of the auxiliary function.

研究动机与目标

• 推导不可压缩纳维-斯托克斯方程中各类量的时间平均与系综平均的精确、最优上界。
• 将Tobasco等人（2017年）提出的有限维极小极大界结果，推广至纳维-斯托克斯方程的无限维设定。
• 通过与辅助柱状泛函的对偶性，构造仅依赖于系统律而不依赖显式解的上界。
• 通过涉及弱平稳统计解与不变测度的极小极大公式，建立上界的最优性。
• 利用对偶性与弱拓扑框架，提供湍流流动量的可计算估计。

提出的方法

• 将最优上界表述为极小极大问题：对柱状测试泛函Ψ取下确界，对相空间点u ∈ K取上确界。
• 利用系统律与Ψ的导数之间的对偶积，构造目标泛函。
• 应用Sion的极小极大定理，交换上确界与下确界，证明上界的最优性。
• 在弱平稳统计解（wsss）与希尔伯特空间H中紧集上的Foias-Prodi解的框架内进行分析。
• 依赖于H中有界集在弱拓扑下的紧性，以及Leray-Hopf弱解存在吸收球的性质。
• 在对偶空间W′中使用柱状测试泛函，以确保无限维空间中的可微性与对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为无限维纳维-斯托克斯方程的时间平均与系综平均推导出最优极小极大界？
• RQ2 有限维设定下的极小极大公式是否可推广至纳维-斯托克斯方程的无限维设定？
• RQ3 能否在不依赖显式解知识的前提下，仅基于系统的统计律获得精确的上界？
• RQ4 弱平稳统计解与不变测度在实现最优上界中起到何种作用？
• RQ5 当存在紧致吸收集时，Leray-Hopf弱解的上界行为如何？

主要发现

• 时间平均的最优上界由柱状测试泛函Ψ的下确界给出，即对紧集K上φ(u) + ⟨F(u), Ψ′(u)⟩的最大值取下确界。
• 极小极大恒等式成立：对初始条件取上确界的极限上确界时间平均，等于下确界-上确界表达式，从而证明了最优性。
• 该结果适用于希尔伯特空间H中的二维与三维不可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 该框架适用于弱平稳统计解与Foias-Prodi解，即使在缺乏完整正则性时亦成立。
• 当限制在H中的足够大的吸收球BR上时，该上界对Leray-Hopf弱解依然有效。
• 该方法通过对偶性产生可计算的估计，避免了直接求解。