[论文解读] Optimal Morphs of Planar Orthogonal Drawings

Arthur van Goethem, Kevin Verbeek|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种最优算法，通过仅使用 O(n) 个线性形变，在保持平面性、正交性和线性复杂度的前提下，实现对连通图的两个平面正交图的形变。该方法通过添加虚拟折点统一图形，利用导线追踪拓扑结构，并利用源图与目标图中导线之间的螺旋度差异，指导一系列 O(n) 个线性形变，从而保持平面性和正交性。

ABSTRACT

We describe an algorithm that morphs between two planar orthogonal drawings $Γ_I$ and $Γ_O$ of a connected graph $G$, while preserving planarity and orthogonality. Necessarily $Γ_I$ and $Γ_O$ share the same combinatorial embedding. Our morph uses a linear number of linear morphs (linear interpolations between two drawings) and preserves linear complexity throughout the process, thereby answering an open question from Biedl et al. Our algorithm first unifies the two drawings to ensure an equal number of (virtual) bends on each edge. We then interpret bends as vertices which form obstacles for so-called wires: horizontal and vertical lines separating the vertices of $Γ_O$. We can find corresponding wires in $Γ_I$ that share topological properties with the wires in $Γ_O$. The structural difference between the two drawings can be captured by the spirality of the wires in $Γ_I$, which guides our morph from $Γ_I$ to $Γ_O$.

研究动机与目标

• 解决连通图的两个平面正交图之间实现最优形变的开放问题。
• 在整个形变过程中保持平面性、正交性和线性复杂度。
• 将线性形变的数量从 O(n²) 减少到 O(n)，与该类形变的已知下界相匹配。
• 提供一种构造性算法，既高效又在图可视化应用中具有视觉连贯性。

提出的方法

• 通过添加虚拟折点，统一输入图形，确保每条边在两个图形中具有相同数量的折点。
• 将折点视为统一图中的顶点，将问题转化为在两个正交直线图之间进行形变。
• 将导线定义为分隔顶点的水平和垂直线，以捕捉拓扑顺序并形成同伦类。
• 使用正交最短路径和最低路径，将源图中的导线映射到目标图，以保持拓扑结构。
• 追踪源图与目标图中对应导线之间的螺旋度差异，以指导形变序列。
• 通过锯齿消除滑动和偏移技术，批量简化边的折点，每轮迭代使用 O(1) 个形变，确保线性复杂度得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用 O(n) 个线性形变实现两个平面正交图之间的形变，同时保持平面性和线性复杂度？
• RQ2 如何捕捉并利用两个正交图之间的结构性差异以实现高效形变？
• RQ3 螺旋度在实现最小且保持平面性的形变序列中起到什么作用？
• RQ4 是否可以通过逐步且批量地简化边的折点，在形变过程中保持线性复杂度？
• RQ5 形变过程是否可以分解为 O(n) 个线性形变的序列，且这些形变在视觉上连贯且拓扑上一致？

主要发现

• 所提出的算法仅使用 O(n) 个线性形变，即可在两个平面正交图之间实现形变，这是最优的，因为在最坏情况下 Ω(n) 个形变是必需的。
• 通过统一边的折点并使用每轮迭代 O(1) 个形变的批量操作简化冗余折点，该方法在整个形变过程中保持了线性复杂度。
• 源图中导线相对于目标图的螺旋度有效捕捉了结构性差异，并有效指导了形变序列。
• 通过使用拓扑一致的导线映射和锯齿消除变换，该算法在每一步都保持了平面性和正交性。
• 该方法可扩展至非连通图，得到一个 O(n^1.5) 的形变算法，优于先前工作的 O(n²) 上限。