[论文解读] Optimal Point Sets for Total Degree Polynomial Interpolation in Moderate Dimensions

Max Gunzburger, Aretha L. Teckentrup|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出一种新算法，用于在中等维度（最多10维）下计算总次数多项式逼近的最优插值点，通过最小化Lebesgue常数实现，且无需计算Vandermonde矩阵。该方法得到了迄今为止最低的Lebesgue常数，结果显示其随维度和次数呈次线性增长，且点分布集中在单位立方体和单位球的边界附近。

ABSTRACT

This paper is concerned with Lagrange interpolation by total degree polynomials in moderate dimensions. In particular, we are interested in characterising the optimal choice of points for the interpolation problem, where we define the optimal interpolation points as those which minimise the Lebesgue constant. We give a novel algorithm for numerically computing the location of the optimal points, which is independent of the shape of the domain and does not require computations with Vandermonde matrices. We perform a numerical study of the growth of the minimal Lebesgue constant with respect to the degree of the polynomials and the dimension, and report the lowest values known as yet of the Lebesgue constant in the unit cube and the unit ball in up to 10 dimensions.

研究动机与目标

• 确定在中等维度下，使总次数多项式插值的Lebesgue常数最小的插值点集。
• 开发一种不依赖于区域几何形状且无需显式计算Vandermonde矩阵的数值算法。
• 计算并报告在单位立方体和单位球中，最多10维下多项式插值的最小Lebesgue常数的最低已知值。
• 分析最优点集的结构与分布，特别是其在区域边界附近的集中性。
• 提供Lebesgue常数随多项式次数和维度增长的经验速率，与理论猜想一致。

提出的方法

• 通过求解大规模非线性优化问题，数值最小化Lebesgue常数，且无需计算Vandermonde行列式或求解线性系统。
• 采用信赖域方法迭代优化点配置，利用Lebesgue常数是插值点平滑函数的特性。
• 该方法与区域无关，可应用于任意紧致区域，如单位立方体和单位球。
• 通过Lagrange基本多项式绝对值之和的最大值，实现Lebesgue常数的基无关表述。
• 通过不显式构造Vandermonde矩阵，避免了高次多项式基带来的病态问题。
• 初始点配置选择对称且分布良好的点集，以避免陷入较差的局部极小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在中等维度下，使总次数多项式插值的Lebesgue常数最小的最优插值点配置是什么？
• RQ2 随着多项式次数和空间维度的增加，最小Lebesgue常数如何增长？
• RQ3 最优点集表现出哪些结构性质，特别是与区域几何和对称性的关系？
• RQ4 能否设计一种数值算法，以避免依赖Vandermonde矩阵计算来计算最优点？
• RQ5 计算得到的Lebesgue常数与文献中先前报告的值相比如何？

主要发现

• 单位球和单位立方体的计算Lebesgue常数为迄今已知最低值，相较于以往工作有显著改进，尤其在次数n ≥ 5时更为明显。
• 当d=2时，最小Lebesgue常数近似按√(n+1)增长；当d=3时，其随n线性增长，与理论预期一致。
• 最优点集在区域边界附近具有更高的密度，且具有反射和旋转对称性，表明其具有强烈的几何结构。
• 对于d=2和d=3，点集表现出向同心圆和球面聚集的趋势，但并不完全匹配Gauss-Legendre-Lobatto点。
• 该算法成功避免了与Vandermonde矩阵相关的数值问题，并在10维下表现出良好的可扩展性。
• 与Briani等人先前结果的对比显示，在所有测试次数下，Lebesgue常数均实现一致且可观的降低。