[论文解读] Optimal Portfolio under Fractional Stochastic Environment

Jean‐Pierre Fouque, Ruimeng Hu|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 20, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文在由缓慢变化的分数阶 Ornstein-Uhlenbeck 过程驱动的非马尔可夫分数阶随机环境中，提出了一种渐近最优的投资组合策略。通过使用幂函数效用下的局部鞅扭曲方法，推导出最优值函数的一阶近似，并证明对于所有 $ H \in (0,1) $，固定零阶交易策略均能达到渐近最优性，其校正项阶为 $ \delta^H $。

ABSTRACT

Rough stochastic volatility models have attracted a lot of attentions recently, in particular for the linear option pricing problem. In this paper, starting with power utilities, we propose to use a martingale distortion representation of the optimal value function for the nonlinear asset allocation problem in a (non-Markovian) fractional stochastic environment (for all Hurst index $H \in (0,1)$). We rigorously establish a first order approximation of the optimal value, where the return and volatility of the underlying asset are functions of a stationary slowly varying fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We prove that this approximation can be also generated by a fixed zeroth order trading strategy providing an explicit strategy which is asymptotically optimal in all admissible controls. Furthermore, we extend the discussion to general utility functions, and obtain the asymptotic optimality of this fixed strategy in a specific family of admissible strategies.

研究动机与目标

• 解决在具有缓慢变化波动率的非马尔可夫分数阶随机环境中，非线性最优投资组合问题。
• 将 Merton 的投资组合优化框架扩展至包含 Hurst 指数 $ H \in (0,1) $ 的粗糙分数阶随机波动率（RFSV）模型。
• 在波动率因子缓慢演化（小 $ \delta $）时，建立值函数和最优策略的严格渐近近似。
• 证明在幂函数效用下，固定零阶交易策略在渐近意义下为最优。
• 利用相同的固定策略框架，将渐近最优性结果推广至特定类别的广义效用函数。

提出的方法

• 采用局部鞅扭曲表示法，表达在分数阶随机环境中幂函数效用下的最优值函数。
• 围绕初始值 $ Z^{\delta,H}_0 $ 处的冻结波动率展开局部鞅扭曲，得到 $ \delta^H $ 阶的一阶校正项。
• 将缓慢变化的随机因子建模为 Hurst 指数 $ H \in (0,1) $ 的分数阶 Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程，其由分数布朗运动驱动。
• 应用 $ \varepsilon $-局部鞅分解方法，处理非马尔可夫动态，并推导渐近近似。
• 基于小参数 $ \delta $ 采用摄动方法，表示快慢因子之间的时标分离。
• 通过假设增长性和可积性，建立关键项的统一有界性，确保渐近展开的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有缓慢变化波动率的非马尔可夫分数阶随机环境中，固定零阶交易策略是否能达到渐近最优？
• RQ2 当波动率由 Hurst 指数 $ H \in (0,1) $ 的分数阶 Ornstein-Uhlenbeck 过程驱动时，最优值函数在幂函数效用下如何表现？
• RQ3 在小 $ \delta $ 范围内，最优值函数的一阶校正项的阶量级是多少？
• RQ4 在何种条件下，值函数的渐近近似对广义效用函数仍保持有效？
• RQ5 Hurst 指数 $ H $ 如何影响渐近策略的收敛速度？

主要发现

• 最优值函数在 $ \delta^H $ 上具有的一阶近似，其主导项通过局部鞅扭曲表示法得出。
• 一阶校正项的阶为 $ \delta^H $，且在给定假设下该校正项一致有界。
• 对于幂函数效用，固定零阶交易策略在渐近意义下为最优，即其达到与真实最优策略相同的主导阶性能。
• 对于广义效用函数，在适当的有界性条件下，同一固定策略在特定可容许策略族内为渐近最优。
• 值函数的近似误差阶为 $ \delta^{H \wedge \alpha} $，其中 $ \alpha $ 与波动率过程的可积性相关。
• 该分析严格证明了在非马尔可夫设定下使用 $ \varepsilon $-局部鞅分解方法的合理性，将其适用范围从线性问题（如期权定价）扩展至更广领域。