[论文解读] Optimal preconditioning for problems of negative order

Rob Stevenson, Raymond van Venetië|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文利用相反阶数的有界可逆算子，结合连续分段线性函数的离散化，为负阶算子构造了最优预条件子。该方法确保了与网格单元数呈线性可扩展性，避免了非对角矩阵求逆，且无需网格分级或重心细化要求，为高阶不连续和连续伽辽金离散化提供了鲁棒且高效的解决方案。

ABSTRACT

Optimal preconditioners for operators of negative order discretized by (dis)continuous piecewise polynomials of any order are constructed from a boundedly invertible operator of opposite order discretized by continuous piecewise linears. Besides the cost of the application of the latter discretized operator, the other cost of the preconditioner scales linearly with the number of mesh cells. Compared to earlier proposals, the preconditioner has the following advantages: It does not require the inverse of a non-diagonal matrix; it applies without any mildly grading assumption on the mesh; and it does not require a barycentric refinement of the mesh underlying the trial space.

研究动机与目标

• 为负阶算子在有限元离散化背景下构造一个最优预条件子。
• 消除对非对角矩阵求逆的需求，以避免计算开销过大。
• 确保在不依赖网格分级或试函数空间网格重心细化的情况下保持鲁棒性能。
• 实现计算成本与网格单元数呈线性可扩展性。
• 在任意阶次的分段多项式离散化中保持效率与稳定性，涵盖不连续和连续两种情形。

提出的方法

• 预条件子由相反阶数的有界可逆算子构造，具体采用连续分段线性函数。
• 选择相反阶数算子的离散化，因其具有良好的条件性和易于求逆的特性。
• 通过变分形式中正负阶算子之间的对偶性，使预条件子继承最优性。
• 该方法确保应用预条件子的计算成本与网格单元数呈线性增长。
• 避免依赖于网格相关假设，如适度分级或重心细化。
• 该方法具有通用性，适用于任意多项式阶次的不连续和连续伽辽金方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不需求解非对角矩阵逆矩阵的情况下，为负阶算子构造出最优预条件子？
• RQ2 该预条件子在不假设网格为适度分级的情况下是否依然有效？
• RQ3 该方法能否避免对试函数空间网格进行重心细化？
• RQ4 预条件子的计算成本如何随网格单元数增长？
• RQ5 该预条件子在任意阶次的不连续和连续分段多项式离散化中是否均表现鲁棒？

主要发现

• 所提出的预条件子在负阶问题中实现了最优收敛速率，且无需计算非对角矩阵的逆。
• 该方法在无结构网格上依然有效，且无需对网格施加任何分级假设。
• 应用预条件子的计算成本与网格单元数呈线性可扩展性。
• 该方法适用于任意多项式阶次的不连续和连续伽辽金离散化。
• 预条件子无需对网格进行重心细化，简化了实现并降低了计算开销。
• 该构造依赖于相反阶数的有界可逆算子，从而确保了稳定性和最优性。