[论文解读] Optimal Pricing For MHR Distributions

Yiannis Giannakopoulos, Kèyù Zhü|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Auction Theory and Applications被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对具有单调风险率（MHR）估值的 n 个独立同分布投标人销售单一物品的简单、匿名的报价机制。通过仅基于第二高统计量的期望值设定单一的“接受或放弃”价格，该机制实现了渐近最优收益，近似比为 $1 + O(\ln \ln n / \ln n)$，与指数分布的紧下界完全匹配。

ABSTRACT

We study the performance of anonymous posted-price selling mechanisms for a standard Bayesian auction setting, where n bidders have i.i.d. valuations for a single item. We show that for the natural class of Monotone Hazard Rate (MHR) distributions, offering the same, take-it-or-leave-it price to all bidders can achieve an (asymptotically) optimal revenue. In particular, the approximation ratio is shown to be \(1+O(\ln {\ln {n}}/ \ln {n})\), matched by a tight lower bound for the case of exponential distributions. This improves upon the previously best-known upper bound of \(e/(e-1)\approx 1.58\) for the slightly more general class of regular distributions. In the worst case (over n), we still show a global upper bound of 1.35. We give a simple, closed-form description of our prices which, interestingly enough, relies only on minimal knowledge of the prior distribution, namely just the expectation of its second-highest order statistic.

研究动机与目标

• 分析在独立同分布投标人条件下，贝叶斯单件拍卖中匿名报价机制的收益表现。
• 确定单一统一价格是否能为单调风险率（MHR）分布类实现近似最优收益。
• 为该定价机制建立紧致的近似界，优于对常规分布的先前结果。
• 刻画一种仅依赖最少先验知识（具体而言，即大小为 n 的样本中第二高统计量的期望）的闭式定价规则。

提出的方法

• 作者在独立同分布估值来自 MHR 分布的贝叶斯设定下，分析单一匿名报价机制的收益表现。
• 他们推导出基于大小为 n 的样本中第二高统计量期望值的最优价格的闭式表达式。
• 分析利用了顺序统计量的性质以及风险率单调性，以界定该机制的近似比。
• 通过渐近分析推导出近似比，表明当 n 增大时其收敛于 1。
• 为指数分布建立了匹配的下界，证明了上界的紧致性。
• 该方法表明，该机制在最坏情况下的全局近似比为 1.35，即使在最坏的 n 情况下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单件拍卖中，单一匿名报价是否能为 MHR 分布估值实现渐近最优收益？
• RQ2 此类机制在所有 MHR 分布中可实现的最紧致近似比是多少？
• RQ3 实施近似最优报价机制需要多少先验知识——具体而言，是否仅凭第二高统计量的期望值即可实现？
• RQ4 随着 n 增大，匿名报价机制的性能是否会显著下降，若是，其下降速度如何？
• RQ5 MHR 分布的近似比是否严格优于常规分布的已知界 $e/(e-1) \approx 1.58$？

主要发现

• 对于 MHR 分布，匿名报价机制的近似比为 $1 + O(\ln \ln n / \ln n)$，优于常规分布的先前上界 $e/(e-1) \approx 1.58$。
• 对于指数分布，近似比被紧致地界定为 $1 + O(\ln \ln n / \ln n)$，从而确立了该界紧致性。
• 最优价格由一个仅依赖于大小为 n 的样本中第二高统计量期望值的闭式表达式给出。
• 即使在 n 的最坏情况下，该机制的全局近似比也最多为 1.35。
• 该机制的性能是渐近最优的，随着 n 增大而趋近于 1，表明在大规模市场中可实现近乎收益最大化。
• 结果表明，仅需最少的先验信息——具体而言，即第二高统计量的期望值——即可在此设定下实现近似最优收益。