[论文解读] Optimal Quadrature Subsampling for Least Squares Polynomial Approximations

Pranay Seshadri, Akil Narayan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出最优积分采样方法，通过使用QR列主元法和加权正交设计矩阵，从张量网格中稀疏地选择点，以在多项式混沌近似中实现条件良好的最小二乘估计。在与随机积分法相同的计算成本下，该方法提供的系数估计比常规张量网格和随机采样更稳定、更准确。

ABSTRACT

This paper proposes a new sampling strategy for constructing polynomial chaos approximations for expensive physics simulation models. The proposed approach, optimal quadrature subsampling involves sparsely subsampling an existing tensor grid such that well-conditioned least squares estimates can be computed. By implementing QR column pivoting on our weighted orthogonal design matrix along with a simple total order basis selection strategy, we demonstrate the efficacy of our approach compared with regular tensor grid quadratures and randomized subsampling. We include numerical experiments on an analytical problem and an aerodynamic computational fluid dynamics model. Essentially for the same computational cost as randomized quadrature, the proposed method is able to offer more stable and accurate polynomial coefficient estimates.

研究动机与目标

• 解决昂贵物理仿真中完整张量网格积分在多项式混沌近似中的高计算成本问题。
• 改进多项式混沌展开中最小二乘系数估计的条件数和准确性。
• 开发一种采样策略，在保持相近计算成本的同时，相比随机采样实现更高的稳定性和准确性。
• 通过从现有张量网格中稀疏且条件良好的采样，实现可靠的多项式混沌近似。

提出的方法

• 该方法对现有张量网格进行稀疏采样，以降低计算成本，同时保持精度。
• 通过加权正交设计矩阵应用QR列主元法，以增强数值稳定性和条件数。
• 采用全阶次基选择策略定义多项式基，确保层次化和系统化的展开。
• 该方法利用现有张量网格而非生成新网格，降低开销并提高效率。
• 设计矩阵通过加权构建，以保持正交性并改善最小二乘问题的条件性。

实验结果

研究问题

• RQ1 从张量网格中进行采样是否能产生比完整张量网格更稳定、更准确的多项式混沌近似？
• RQ2 在相同计算成本下，最优积分采样是否相比随机采样具有更好的条件性和准确性？
• RQ3 使用加权正交设计矩阵的QR列主元法如何提升多项式混沌展开中最小二乘估计的稳定性？
• RQ4 稀疏采样策略是否能在显著减少所需仿真评估次数的同时保持精度？

主要发现

• 与完整张量网格和随机采样相比，所提方法实现了更好的条件性最小二乘问题。
• 在与随机积分法相同的计算成本下，该方法在多项式混沌近似中提供了更准确、更稳定的系数估计。
• 在解析问题和CFD模型上的数值实验证实，该方法相比基线方法具有更高的稳定性和准确性。
• QR列主元法有效改善了设计矩阵的条件性，降低了系数估计中的数值误差。