[论文解读] Optimal quantum control with digitized Quantum Annealing

Glen Bigan Mbeng, Rosario Fazio+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 11

一句话总结

本文表明，通过构建一种规则的、迭代的调度方案，数字化量子退火（dQA）可在无需事先了解能隙谱信息的情况下实现最优量子控制，并达到理论残余能量上限。该方法在标准量子退火（QA）基础上实现了二次加速，残余能量标度为 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1}$，并通过变分优化被证明等价于最优QAOA解。

ABSTRACT

We show how a digitized version of Quantum Annealing can be made optimal, realizing the best possible solution allowed by quantum mechanics in the shortest time, without any prior knowledge on the location and properties of the spectral gap. Our findings elucidate the intimate relation between digitized-QA, optimal Quantum Control, and recently proposed hybrid quantum-classical variational algorithms for quantum-state preparation and optimization. We illustrate this on the simple benchmark problem of an unfrustrated antiferromagnetic Ising chain in a transverse field.

研究动机与目标

• 建立数字化量子退火（dQA）与无需能隙信息的最优量子控制之间的联系。
• 证明规则的、迭代的dQA调度方案可在量子优化中实现理论最优的残余能量上限。
• 展示最优dQA解可通过变分QAOA优化自然涌现，从而将混合量子-经典算法与绝热协议联系起来。
• 探究即使在经典优化景观崎岖或简并的情况下，最优dQA调度是否可高效构建。
• 探索该方法在平移不变系统之外的普适性，包括无序或复杂哈密顿量的情形。

提出的方法

• 作者通过将连续时间绝热演化离散化为一系列离散酉门，构建了数字化量子退火（dQA）协议，其结构类似于QAOA电路。
• 对QAOA试探态 $|\psi_P(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta})\rangle = \prod_{k=1}^P e^{-i\beta_k \widehat{H}_x} e^{-i\gamma_k \widehat{H}_{\mathrm{target}}} |\psi_0\rangle$ 应用变分优化，以寻找最优参数 $\boldsymbol{\gamma}^\mathrm{opt}, \boldsymbol{\beta}^\mathrm{opt}$。
• 关键洞见在于：在QAOA能量的 $2^P$ 个简并变分极小值中，存在一种特殊的规则解，可按 $P$ 递推构造，从而获得最优调度。
• 最优dQA调度源自庞特里亚金最大值原理所预测的“bang-bang”控制形式，确保演化时间最短且保真度最高。
• 该方法在横向场伊辛链上得到验证，残余能量 $\epsilon^{\mathrm{res}}$ 的解析界限为 $\epsilon^{\mathrm{res}} = (2P + 2)^{-1}$，且数值结果表明其标度为 $\tau^{-1}$。
• 该协议被扩展至非零横向场和各向异性XY模型，显示出在临界点附近无需事先能隙知识即可实现鲁棒性与自动适应性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种数字化量子退火协议，在不事先知晓能隙谱信息的情况下实现理论最优残余能量上限？
• RQ2 QAOA试探态的变分优化如何导致一种规则的、迭代的dQA调度，从而饱和理论能量上限？
• RQ3 寻找最优dQA调度的计算成本是多少？与随机初始化相比，其收敛速度如何？
• RQ4 最优dQA解能否推广至平移不变系统之外，如无序或几何阻挫自旋模型？
• RQ5 变分能量景观的结构如何影响在简并或无序条件下寻找全局最优解的效率？

主要发现

• 最优dQA调度实现了残余能量标度 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1}$，相较于标准Kibble-Zurek标度 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1/2}$，实现了二次加速。
• 在QAOA试探态的 $2^P$ 个简并变分极小值中，存在唯一一种可按 $P$ 递推构造的规则解，从而获得最优协议。
• 最优dQA调度源自庞特里亚金原理所预测的“bang-bang”控制形式，确保演化时间最短且保真度最高。
• 当使用递归初始化时，该方法实现 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim t_{\mathrm{cc}}^{-2/3}$，优于随机初始化 ($\epsilon^{\mathrm{res}} \sim t_{\mathrm{cc}}^{-1/3}$)，并超越Kibble-Zurek标度。
• 在横向场伊辛模型中，即使缺乏事先的能隙信息，最优dQA调度也能自动在临界点 $s_c = 2/(1-h)$ 附近趋于平坦。
• 该方法在一般各向异性XY模型中依然有效，并对无序具有鲁棒性，尽管此时简并性被打破，优化景观变得崎岖。