[论文解读] Optimal Quantum Spatial Search with One-Dimensional Long-Range Interactions

Dylan Lewis, Asmae Benhemou+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用 15

一句话总结

本文证明，在一维自旋链中，若长程相互作用按 1/r^α 衰减，则可实现最优量子空间搜索——运行时间达到 O(√n) 量级，保真度接近单位值。通过分析此类链上的连续时间量子行走，作者在理论上和数值上证明，当 α < 1.5 时存在最优搜索，且当 α ≲ 1.2 时可实现近乎完美的保真度，并展示了对相位退相干噪声的鲁棒性，使其在离子阱等实验系统中具有可行性。

ABSTRACT

Continuous-time quantum walks can be used to solve the spatial search problem, which is an essential component for many quantum algorithms that run quadratically faster than their classical counterpart, in O(n) time for n entries. However, the capability of models found in nature is largely unexplored - e.g., in one dimension only nearest-neighbor Hamiltonians have been considered so far, for which the quadratic speedup does not exist. Here, we prove that optimal spatial search, namely with O(n) run time and high fidelity, is possible in one-dimensional spin chains with long-range interactions that decay as 1/rα with distance r. In particular, near unit fidelity is achieved for α≈1 and, in the limit n→∞, we find a continuous transition from a region where optimal spatial search does exist (α<1.5) to where it does not (α>1.5). Numerically, we show that spatial search is robust to dephasing noise and that, for reasonable chain lengths, α≲1.2 should be sufficient to demonstrate optimal spatial search experimentally with near unit fidelity.

研究动机与目标

• 确定在一维自旋链中，物理上合理的长程相互作用是否能够实现最优量子空间搜索。
• 确定最优搜索与非最优搜索之间转变的临界 α 值。
• 确定在实验可实现系统中实现高保真度空间搜索的条件。
• 分析在实际环境中，最优搜索对相位退相干噪声的鲁棒性。

提出的方法

• 使用按 1/r^α 衰减的长程相互作用在一维自旋链上，通过连续时间量子行走形式化空间搜索问题。
• 使用 XY 自旋模型对系统哈密顿量进行建模，其中相互作用强度 Jij ∝ 1/|i−j|^α，适用于闭合链。
• 应用 Childs 和 Goldstone 算法，通过 H_search = γH + H_marked 演化系统，其中 H_marked 为预言机哈密顿量。
• 通过分析基态与第一激发态之间的能隙，确定最优演化时间 T ∝ 1/ΔE。
• 利用调和和的解析近似与渐近展开，推导保真度 F∞(α) 随 n 的标度关系。
• 通过数值模拟验证有限 n 下的渐近标度与保真度，尤其针对 α ≲ 1.2 的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维自旋链中，长程相互作用按 1/r^α 衰减时，哪些 α 值下存在最优空间搜索？
• RQ2 区分最优与非最优空间搜索的临界 α 值是多少？
• RQ3 对于实际链长和 α 值，是否可在实验中实现高保真度空间搜索（接近单位保真度）？
• RQ4 相位退相干噪声如何影响该模型中空间搜索协议的性能？

主要发现

• 在大 n 极限下，理论上证明当 α < 1.5 时，存在运行时间为 O(√n) 的最优空间搜索。
• 当 α ≲ 1.2 时，可实现接近单位的保真度（F∞(α) ≈ 1），且保真度标度在 α < 1.5 时趋近于常数。
• 最优搜索向非最优搜索的转变发生在 α = 1.5 处，此时保真度 F∞(α) 渐近下降至零。
• 数值模拟证实，达到最大保真度的时间对 α ≤ 1.3 时呈 O(√n) 标度，且在 α < 1.5 的范围内仍保持接近最优。
• 该协议对相位退相干噪声具有鲁棒性，在实际退相干条件下仍能保持高保真度。
• 该模型在离子阱系统中具有实验可行性，其中 α ≈ 1 已可实现且可调谐至 α ≲ 1.2。