[论文解读] Optimal Quaternary Hermitian LCD codes

Liangdong Lü, Xiuzhen Zhan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文通过删减、扩展、缩短及组合方法，在 $ℝ_4$ 上构造了最优及近乎最优的四元 Hermitian 线性互补对偶（LCD）码。文中提出了新的最优码，如 $[18,7,9]$、$[19,7,9]$ 和 $[20,7,10]$，其性能优于先前的界限，并达到 Grassl 码表的极限，适用于通过辅助纠缠实现的量子纠错。

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) codes, which is a class of linear codes introduced by Massey, have been extensively studied in literature recently. It has been shown that LCD codes can help to improve the security of the information processed by sensitive devices, especially against so-called side-channel attacks (SCA) and fault invasive attacks. In this paper, Tables are presented of good quaternary Hermitian LCD codes and there are used in the construction of puncturing, extending, shortening and combination codes. Results including tables 3 of the best-known quaternary Hermitian LCD codes of any length $ n \leq 25$ with corresponding dimension $k$ are presented. In addition, Many of these quaternary Hermitian LCD codes given in this paper are optimal which are saturating the lower or upper bound of Grassl's codetable in \cite{Grassl} and some of them are nearly optimal.

研究动机与目标

• 构造具有更长最小距离的新型四元 Hermitian LCD 码，以实现更优的纠错性能。
• 识别出饱和或逼近 Grassl 码表中已知界限的最优及近乎最优码。
• 探索四元 Hermitian LCD 码与最大纠缠辅助纠缠量子纠错码（EAQECC）之间的联系。
• 通过删减、扩展、缩短及组合技术扩展现有构造方法，生成参数更优的码。
• 提供长度 $n \leq 25$ 的最佳已知四元 Hermitian LCD 码的完整表格。

提出的方法

• 对已知最优码应用删减、扩展、缩短及组合技术，生成新的四元 Hermitian LCD 码。
• 在 $ℝ_4$ 上使用 Hermitian 内积 $ (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger $ 定义对偶性与 LCD 条件。
• 应用码 $\mathcal{C}$ 为 LCD 的判别准则：若 $\mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp = \{\mathbf{0}\}$，则其与对偶码仅有零向量交集。
• 系统性地测试所有可能的坐标选择，以最大化最小距离。
• 将构造的码与 Grassl 码表对比以判断最优性，将饱和上下限边界的码定义为最优码。
• 利用公式 $[[n, 2k-n+c, d; c]]$ 从经典 LCD 码推导出最大纠缠 EAQECC，保持最小距离不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 长度 $n \leq 25$ 的哪些四元 Hermitian LCD 码达到或逼近最小距离的理论界限？
• RQ2 删减、扩展、缩短及组合方法能否生成新的最优或近乎最优的四元 Hermitian LCD 码？
• RQ3 所构造的四元 Hermitian LCD 码与 Grassl 码表中最佳已知线性码相比如何？
• RQ4 最优四元 Hermitian LCD 码与最大纠缠 EAQECC 之间存在何种关系？
• RQ5 与先前构造相比，新码能否提升现有量子码的最小距离？

主要发现

• 本文构造了最优四元 Hermitian LCD 码 $[18,7,9]$，其权重枚举为 $1+393z^9+666z^{10}+\cdots+117z^{18}$，优于先前的界限。
• 提出了新的最优码 $[19,7,9]$ 和 $[20,7,10]$，后者实现了高于先前构造的最小距离。
• 对于 $21 \leq n \leq 25$ 且 $16 \leq k \leq 18$，以及若干导出码如 $[23,4,15]$、$[24,5,15]$ 和 $[25,8,12]$，所构造的码为最优码，并达到 Grassl 码表的界限。
• 确认码 $[15,6,7]$ 为最优码，因为在自正交码分类中不存在 $[15,6,8]$ 码。
• 码 $[18,7,9]$、$[19,7,9]$ 和 $[20,7,10]$ 生成了改进的最大纠缠 EAQECC：$[[18,7,9;11]]$、$[[19,7,9;12]]$ 和 $[[20,7,10;12]]$。
• 表 3 提供了 $n \leq 25$ 的最小距离更紧的上下界，粗体条目表示对先前工作的改进。