[论文解读] Optimal Rates of Convergence for Latent Generalized Correlation Matrix Estimation in Transelliptical Distribution

Fang Han, Han Liu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用 25

一句话总结

本文在换椭球分布下，为基于秩的相关的矩阵估计器建立了最优收敛速率，通过变换后的Kendall's tau矩阵来估计潜在的皮尔逊相关矩阵。在无需任何矩条件的前提下，证明了在谱范数和受限谱范数下的最优收敛性，有效秩和一种新颖的符号次高斯条件在分析中起着关键作用。

ABSTRACT

Correlation matrix plays a key role in many multivariate methods (e.g., graphical model estimation and factor analysis). The current state-of-the-art in estimating large correlation matrices focuses on the use of Pearson's sample correlation matrix. Although Pearson's sample correlation matrix enjoys various good properties under Gaussian models, its not an estimator when facing heavy-tail distributions with possible outliers. As a robust alternative, \cite{han2012transelliptical} advocated the use of a transformed version of the Kendall's tau sample correlation matrix in estimating high dimensional latent generalized correlation matrix under the transelliptical distribution family (or elliptical copula). The transelliptical family assumes that after unspecified marginal monotone transformations, the data follow an elliptical distribution. In this paper, we study the theoretical properties of the Kendall's tau sample correlation matrix and its transformed version proposed in \cite{han2012transelliptical} for estimating the population Kendall's tau correlation matrix and the latent Pearson's correlation matrix under both spectral and restricted spectral norms. With regard to the spectral norm, we highlight the role of effective rank in quantifying the rate of convergence. With regard to the restricted spectral norm, we for the first time present a sign subgaussian condition which is sufficient to guarantee that the rank-based correlation matrix estimator attains the optimal rate of convergence. In both cases, we do not need any moment condition.

研究动机与目标

• 研究在换椭球分布族下，高维设置中变换后的Kendall's tau相关矩阵估计器的理论性质。
• 在谱范数和受限谱范数下，建立估计潜在广义相关矩阵的最优收敛速率。
• 识别出确保最优收敛的最小正则性条件——具体而言，即符号次高斯条件——以避免矩假设。
• 量化有效秩在谱范数下决定收敛速率的作用。
• 为重尾和异常值敏感的数据场景提供皮尔逊相关矩阵的稳健替代方案。

提出的方法

• 本文分析了在换椭球模型下，变换后的Kendall's tau样本相关矩阵作为总体Kendall's tau相关矩阵的稳健估计器。
• 通过引入有效秩的概念来衡量潜在相关结构的复杂性，推导了在谱范数下的收敛速率。
• 对于受限谱范数，分析引入了一种新的符号次高斯条件，以确保最优估计性能。
• 该方法通过依赖基于秩的相依性度量和分布自由的渐近近似，避免了任何矩条件。
• 利用专为基于秩的统计量和矩阵扰动理论设计的浓度不等式，推导出理论保证。
• 该框架允许非参数边际变换，从而实现从具有未指定单调变换的数据中估计潜在的皮尔逊相关矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在换椭球模型下，使用基于秩的方法估计潜在广义相关矩阵的最优收敛速率是什么？
• RQ2 在高维设置中，有效秩如何影响谱范数下的收敛速率？
• RQ3 在受限谱范数下，哪些条件足以确保基于秩的估计器达到最优收敛？
• RQ4 变换后的Kendall's tau估计器是否可以在不假设有限矩的情况下实现最优速率？
• RQ5 符号次高斯条件是否足以在受限谱范数下保证最优收敛？

主要发现

• 变换后的Kendall's tau估计器在谱范数下实现了最优收敛速率，其速率取决于总体相关矩阵的有效秩。
• 在受限谱范数下，本文识别出一种符号次高斯条件，足以保证最优收敛，即使在无矩假设下亦成立。
• 分析表明，收敛结果无需任何矩条件，使该方法对重尾和污染数据具有鲁棒性。
• 有效秩成为在谱范数下量化收敛速率的关键参数，反映了相关结构的内在维度。
• 由于对非高斯尾部具有鲁棒性，所提出的估计器在重尾和异常值敏感的场景下优于样本皮尔逊相关矩阵。
• 理论框架为在椭球和换椭球模型下，高维图模型和因子分析中使用基于秩的方法提供了严格的理论基础。