[论文解读] Optimal regularity for a Dirichlet-conormal problem in Reifenberg flat domain

Jongkeun Choi, Hongjie Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文在Reifenberg平坦区域中建立了二阶椭圆方程混合Dirichlet-法向边界条件下最优的$W^{1,p}$可解性，证明当系数具有小均振荡且边界部分由余维2的Reifenberg平坦界面分隔时，$p \in (4/3, 4)$范围内存在唯一解。该结果填补了在切向界面附近混合问题正则性理论的空白。

ABSTRACT

We study the divergence form second-order elliptic equations with mixed Dirichlet-conormal boundary conditions. The unique $W^{1,p}$ solvability is obtained with $p$ being in the optimal range $(4/3,4)$. The leading coefficients are assumed to have small mean oscillations and the boundary of domain is Reifenberg flat. We also assume that the two boundary conditions are separated by some Reifenberg flat set of co-dimension $2$ on the boundary.

研究动机与目标

• 建立不规则区域中混合Dirichlet-法向边界值问题$W^{1,p}$可解性的最优$p$范围。
• 将具有混合边界条件的椭圆方程正则性理论扩展至Reifenberg平坦区域，该类区域推广了Lipschitz区域，容许分形状边界。
• 解决解的梯度在$ L^p $中失去可积性的临界正则性阈值问题，特别是在切向界面附近。
• 证明范围$ p \in (4/3, 4) $为最优，与经典反例一致，即当$ p \geq 4 $时正则性失效。
• 在几何与系数正则性假设最小化的前提下，提供$W^{1,p}$估计与可解性的框架。

提出的方法

• 采用弱形式化定义（定义2.1），避免依赖迹算子或外法向量，即使在边界不光滑时也成立。
• 从$\Omega$构造扩展区域$\hat{\Omega}$，以保持John区域性质，并使$L_p$有界性结果得以应用。
• 通过紧算子$T = R_\lambda \circ I$应用Fredholm选择定理，其中$R_\lambda$为解算子，$I$为嵌入到$L_p$中，以证明唯一性与存在性。
• 采用提升论证法，从$W^{1,p}$解出发，逐步提升正则性至$W^{1,2}$，此时弱最大值原理适用。
• 利用小Reifenberg平坦区域对所有$p \in [1, \infty]$均为$W^{1,p}$-扩张区域的性质，确保Sobolev不等式成立。
• 利用散度型结构与具有小均振荡的BMO系数，控制椭圆算子中的主导系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有BMO系数的Reifenberg平坦区域中，混合Dirichlet-法向问题的$W^{1,p}$可解性最优$p$范围是什么？
• RQ2 是否可以改进$ L^p $-正则性阈值$ p=4 $，还是如经典反例所示，其本身即为最优？
• RQ3 作为余维2 Reifenberg平坦集的界面$\Gamma$（分隔$\mathcal{D}$与$\mathcal{N}$）的几何结构如何影响可解性与正则性？
• RQ4 在迹与法向导数未经典定义的非光滑区域中，能否应用Fredholm选择定理？
• RQ5 当从$W^{1,p}$（$p<2$）出发时，通过提升论证法可在多大程度上提升解的正则性？

主要发现

• 混合问题的$W^{1,p}$可解性对所有$p \in (4/3, 4)$成立，此为最优范围，与$ p \geq 4 $时已知反例一致。
• 主导系数$a_{ij}$假设具有小均振荡（BMO），确保估计所需的足够正则性，而无需连续性要求。
• 边界$\partial\Omega$假设为Reifenberg平坦，这是Lipschitz区域的推广，容许分形状结构与小尺度不规则性。
• 界面$\Gamma = \mathcal{D} \cap \mathcal{N}$假设为余维2 Reifenberg平坦集，控制两部分边界的切向接触。
• 解算子$R(\lambda, L)$有界，从$(L_p(\Omega))^d \times L_p(\Omega)$映射到$W^{1,p}_{\mathcal{D}}(\Omega)$，使Fredholm理论得以应用。
• 通过从$W^{1,p}$解提升至$W^{1,2}$的提升论证法，确立了齐次问题解的唯一性，此时弱最大值原理适用。