[论文解读] Optimal regularity of stable solutions to nonlinear equations involving the $p$-Laplacian

Xavier Cabré, Pietro Miraglio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文建立了对 $ p $-拉普拉斯方程 $ -\Delta_p u = f(u) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 中稳定弱解的最优内部 $ C^\beta $ 正则性估计，证明了当 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 时解有界（$ p \geq 2 $），且当 $ p \in (1,2) $ 时在非最优条件 $ n < 5p $ 下亦有界。该结果通过将经典的 $ p=2 $ 正则性理论推广至全部 $ p $-拉普拉斯算子范围，解决了非线性椭圆PDE领域长期存在的一个公开问题。

ABSTRACT

We consider the equation $-\\Delta_p u=f(u)$ in a smooth bounded domain of $\\mathbb{R}^n $, where $\\Delta_p$ is the $p$-Laplace operator. Explicit examples of unbounded stable energy solutions are known if $n\\geq p+4p/(p-1)$. Instead, when $n&lt;p+4p/(p-1)$, stable solutions have been proved to be bounded only in the radial case or under strong assumptions on $f$. In this article we solve a long-standing open problem: we prove an interior $C^\\alpha$ bound for stable solutions which holds for every nonnegative $f\\in C^1$ whenever $p\\geq2$ and the optimal condition $n&lt;p+4p/(p-1)$ holds. When $p\\in(1,2)$, we obtain the same result under the non-sharp assumption $n&lt;5p$. These interior estimates lead to the boundedness of stable and extremal solutions to the associated Dirichlet problem when the domain is strictly convex. Our work extends to the $p$-Laplacian some of the recent results of Figalli, Ros-Oton, Serra, and the first author for the classical Laplacian, which have established the regularity of stable solutions when $p=2$ in the optimal range $n&lt;10$.

研究动机与目标

• 解决关于在最优维数范围内建立 $ p $-拉普拉斯方程 $ -\Delta_p u = f(u) $ 稳定解最优内部正则性的长期公开问题。
• 将近期针对 $ p=2 $ 情况下稳定解的 $ C^\alpha $ 正则性结果推广至全部范围 $ p \in (1, \infty) $，特别是 $ p \geq 2 $ 的情形。
• 证明当区域为严格凸时，稳定解在最优条件 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $（$ p \geq 2 $）及 $ n < 5p $（$ p \in (1,2) $）下有界。
• 建立基于 $ L^p $ 的水平集估计，并利用几何Poincaré型不等式控制 $ |\nabla u| $ 的梯度，结合稳定性与coarea公式技术。

提出的方法

• 通过新颖地应用coarea公式与水平集 $ \{u = t\} $ 上的迹不等式，结合稳定性条件的几何形式，推导出内部 $ C^\alpha $ 正则性估计。
• 采用带权Sobolev空间 $ W^{1,2}_\sigma $，其中权重 $ \sigma = |\nabla u|^{p-2} $，以定义稳定性的测试函数空间，确保其完备性与与 $ p $-拉普拉斯结构的相容性。
• 应用稳定性不等式的几何形式（定理1.8），控制水平集上 $ \nabla_T |\nabla u| $ 的 $ L^2 $-范数，将其与能量泛函的二阶变分联系起来。
• 利用Hölder不等式与coarea公式，将 $ \nabla u $ 的 $ L^p $-界与水平集上 $ |\nabla u|^{\frac{p-1}{2}} $ 的 $ L^{\frac{2(n-1)}{n-3}} $-界结合，导出 $ L^{p + \frac{2(p-1)}{n-1}} $-界。
• 依赖光滑逼近方法，即使 $ u $ 缺乏完整的 $ C^2 $ 正则性，也能在子水平集 $ \{u > t\} $ 上合理化分部积分。
• 通过截断与散度定理论证，建立关于水平集上 $ |\nabla u| $ 的 $ L^{p-1} $-范数的关键估计（B.4），利用方程 $ \Delta_p u = f(u) \in L^1_{\text{loc}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 时，是否可对 $ p \geq 2 $ 的 $ p $-拉普拉斯方程稳定解建立最优 $ C^\alpha $ 正则性？
• RQ2 稳定解可能变得无界的临界维数阈值为何？在凸性假设下，是否可恢复有界性？
• RQ3 即使 $ u $ 不是 $ C^2 $，能否以几何形式利用稳定性条件来控制水平集上 $ |\nabla u| $ 的梯度？
• RQ4 能否将 Figalli、Ros-Oton、Serra 和 Cabré 在 $ p=2 $ 情况下的正则性结果推广至全部 $ p \in (1, \infty) $ 范围，特别是 $ p \geq 2 $ 的情形？
• RQ5 是否可导出水平集上的 $ L^p $-型估计，从而实现 $ |\nabla u| $ 的更高可积性，使得在不假设径向对称性的情况下也能获得 $ C^\alpha $ 正则性？

主要发现

• 对于 $ p \geq 2 $，在光滑有界区域中，若 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $，则 $ -\Delta_p u = f(u) $ 的稳定解在内部具有 $ C^\alpha $ 正则性，且维数条件为最优。
• 对于 $ p \in (1,2) $，在非最优条件 $ n < 5p $ 下，相同的 $ C^\alpha $ 正则性仍成立，扩展了适用范围。
• 通过新颖的几何方法（结合coarea公式、水平集上的迹不等式及稳定性条件的积分形式）建立了内部 $ C^\alpha $ 估计。
• 利用 $ \nabla u $ 的 $ L^p $-界控制 $ |\nabla u| $ 的 $ L^{p + \frac{2(p-1)}{n-1}} $-范数，通过Sobolev嵌入论证可推出所需的Hölder正则性。
• 当区域为严格凸时，在最优维数条件 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $（$ p \geq 2 $）下，Dirichlet问题的稳定解与极值解有界性得以确立。
• 该证明避免了径向对称性假设，适用于一般 $ f \in C^1 $，包括指数型与幂次型非线性项，如 $ \lambda e^u $ 和 $ \lambda(1+u)^m $（$ m > p-1 $）。