[论文解读] Optimal Scalar Linear Index Codes for Three Classes of Two-Sender Unicast Index Coding Problem

A Chinmayananda, B. Sundar Rajan|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Cooperative Communication and Network Coding被引用 7

一句话总结

本文通过利用单发送者组播索引编码问题（SGICP）的联合扩展，为特定类别的两发送者广播索引编码问题提出了最优标量线性索引编码。它引入了联合扩展的广义概念，并证明当子问题属于某一类联合扩展时，可构造出TGICP的最优编码，同时给出了最优性的必要条件。

ABSTRACT

The two-sender groupcast index coding problem (TGICP) consists of a set of receivers, where all the messages demanded by the set of receivers are distributed among the two senders. The senders can possibly have a set of messages in common. Each message can be demanded by more than one receiver. Each receiver has a subset of messages (known as its side information) and demands a message it does not have. The objective is to design scalar linear codes at the senders with the minimum aggregate code length such that all the receivers are able to decode their demands, by leveraging the knowledge of the side information of all the receivers. In this work, optimal scalar linear codes of three sub-problems (considered as single-sender groupcast index coding problems (SGICPs)) of the TGICP are used to construct optimal scalar linear codes for some classes of the TGICP. We introduce the notion of joint extensions of a finite number of SGICPs, which generalizes the notion of extensions of a single SGICP introduced in a prior work. An SGICP $\mathcal{I}_E$ is said to be a joint extension of a finite number of SGICPs if all the SGICPs are disjoint sub-problems of $\mathcal{I}_E$. We identify a class of joint extensions, where optimal scalar linear codes of the joint extensions can be constructed using those of the sub-problems. We then construct scalar linear codes for some classes of the TGICP, when one or more sub-problems of the TGICP belong to the above identified class of joint extensions, and provide some necessary conditions for the optimality of the construction.

研究动机与目标

• 为两发送者组播索引编码问题（TGICP）提供解决方案，其中消息分布在两个发送者之间，接收者拥有部分信息并请求特定消息。
• 通过利用源自单发送者组播索引编码问题（SGICPs）的子问题的结构性质，减少TGICP中的聚合编码长度。
• 将SGICP扩展的概念推广至多个不相交SGICP的联合扩展，以支持更复杂的编码构造。
• 识别出一类联合扩展，使得可从各SGICP的最优编码构造出联合问题的最优标量线性编码。
• 推导出当子问题属于所识别的联合扩展类时，TGICP中所构造编码的最优性必要条件。

提出的方法

• 引入有限个SGICP的联合扩展概念，其中每个SGICP是更大SGICP的一个不相交子问题。
• 定义一类联合扩展，使得联合扩展的最优标量线性编码可由各个SGICP的最优编码构造而成。
• 将TGICP表述为若干子问题的组合，每个子问题均为单发送者组播索引编码问题。
• 利用子问题的最优标量线性编码，构造整体TGICP的标量线性编码，确保聚合长度最小化。
• 基于联合扩展的结构和接收者的侧信息，建立所构造编码最优性的必要条件。
• 利用联合扩展中子问题的不相交性，确保编码组件在构造过程中无干扰。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可从子问题的最优编码构造出两发送者广播索引编码问题的最优标量线性编码？
• RQ2 如何将单发送者组播索引编码问题的扩展概念推广至处理多个不相交子问题？
• RQ3 联合扩展的何种结构性质使得联合问题的最优编码可由其各组成部分的最优编码导出？
• RQ4 何种必要条件可确保TGICP中所构造编码在聚合编码长度上达到最优？
• RQ5 在哪些TGICP类别中，联合扩展框架可产生最优标量线性编码？

主要发现

• 本文识别出一类SGICP的联合扩展，使得联合问题的最优标量线性编码可从各子问题的最优编码构造而成。
• 该构造方法确保了当一个或多个子问题属于所识别的联合扩展类时，TGICP实例的聚合编码长度达到最小。
• 基于联合扩展的结构和接收者的侧信息，推导出了所构造编码最优性的必要条件。
• 该框架通过允许多个不相交的SGICP组合为联合扩展，推广了先前关于单个SGICP扩展的研究工作。
• 结果表明，对于某些TGICP类别，可系统性地利用简单单发送者子问题的最优编码，构建出最优标量线性编码。
• 该方法通过将问题结构化分解为不相交且可解的子问题，实现了多发送者索引编码中最优编码的模块化设计。