[论文解读] Optimal scalar products in the Standard Linear Viscoelastic Model

Marta Pellicer, J. Solà‐Morales|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 4被引用 30

一句话总结

本文通过构造一个新的等价内积，使得无穷小生成元变为正规算子，从而建立了三阶标准线性粘弹性模型解的最优指数衰减速率。该方法确保了完备的正交特征函数基的存在。关键贡献在于证明了在大多数参数配置下，该新度量下的半群生成元是正规的，从而得到与谱界完全匹配的精确衰减估计。

ABSTRACT

We study the third order in time linear dissipative wave equation known as the Standard Linear Viscoelastic Model, that appears also as the linearization of the so-called Moore-Gibson-Thompson equation in Nonlinear Acoustics. We complete the description in a paper by R. Marchand et al. (2012) of the spectrum of the generator of the corresponding group of operators and show that, apart from some exceptional values of the parameters, this generator can be made to be a normal operator with a new scalar product, with a complete set of orthogonal eigenfunctions. Using this property we also obtain sharper decay estimates for the solutions as time tends to infinity, both when the operator is normal or not.

研究动机与目标

• 完成对标准线性粘弹性模型中生成元的谱分析，特别是针对时间上的三阶耗散波动方程。
• 确定在何种条件下，无穷小生成元在新的等价内积下成为正规算子。
• 在生成元为正规和非正规的情况下，推导出当 $t \to \infty$ 时解的精确、最优衰减速率。
• 通过利用谱理论和多种希尔伯特空间设置下的泛函分析技术，统一并拓展先前关于衰减速率的研究结果。

提出的方法

• 构造一个新的内积 $G$，使得半群的无穷小生成元 $A$ 成为正规算子，从而保证存在完备的正交特征函数基。
• 利用与 $L$ 的特征值相关的特征方程的谱分析，根据 $m_1, m_2$（即卡丹判别式的根）对根 $\lambda_j^n$ 的行为进行分类。
• 将希尔伯特空间分解为有限维子空间 $\mathcal{H}_i^1$（其中特征值可能非单重）和无限维子空间 $\mathcal{H}_i^0$（其中 $A$ 为正规算子），以处理非正规情形。
• 应用线性代数中的已知结果，在有限维部分 $\mathcal{H}_i^1$ 上定义一个等价内积，使得半群范数的衰减速率可任意接近 $\sigma_{\text{max}}(A_1) + \varepsilon$，其中 $\varepsilon > 0$。
• 证明新内积 $G$ 与原始范数等价，确保新度量是良定义且具有物理意义。
• 在正规情形下利用正交特征基，在非正规情形下使用扰动论证，推导出与谱界 $\sigma_{\text{max}}$ 完全匹配的最优衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在参数 $\alpha, \beta > 0$ 及 $L$ 的特征值满足何种条件时，无穷小生成元 $A$ 在新的内积下成为正规算子？
• RQ2 即使生成元非正规，是否仍能精确刻画标准线性粘弹性模型解的最优衰减速率？
• RQ3 谱界 $\sigma_{\text{max}}$ 与解的实际衰减速率之间存在何种关系，特别是在存在非单重特征值时？
• RQ4 如何构造一个与原始范数等价的内积，使得 $A$ 成为正规算子并拥有完备的正交特征函数基？
• RQ5 即使主导特征值非实数，是否仍能实现衰减速率 $-1/\beta$ 作为最优速率？该速率与 $A$ 的谱之间有何关系？

主要发现

• 无穷小生成元 $A$ 在新的等价内积 $G$ 下为正规算子，当且仅当参数满足一个涉及卡丹判别式根 $m_1, m_2$ 的特定条件，这些根由系统的特征方程导出。
• 当 $A$ 为正规算子时，系统存在完备的正交特征函数基，从而可实现精确的谱分解，并通过 $\|U(t)\|_G^2 \leq \|U(0)\|_G^2 e^{2\sigma_{\text{max}} t}$ 得到最优衰减估计。
• 最优衰减速率 $\sigma_{\text{max}}$ 要么是某个 $n$ 的 $\operatorname{Re}(\lambda_2^n)$，要么是 $-1/\beta$，且该界是精确的，已通过具有该衰减速率的显式解加以验证。
• 在非正规情形下（即某些特征值为重根，几何重数小于代数重数），最优衰减速率仍为 $\sigma_{\text{max}}$，通过在有限维谱子空间上构造等价内积实现。
• 对任意 $\varepsilon > 0$，可在有限维部分 $\mathcal{H}_i^1$ 上定义一个新的内积 $G_{1,\varepsilon}$，使得 $\|e^{A_1 t}\|_{G_{1,\varepsilon}} \leq e^{(\sigma_{\text{max}}(A_1) + \varepsilon)t}$，其中 $\sigma_{\text{max}}(A_1) < -1/\beta$，从而确保主导衰减速率由正规部分控制。
• 通过正交扩展 $G_0$ 和 $G_{1,\varepsilon}$ 构造的新内积 $G'$ 与原始范数等价，在该范数下最优衰减速率 $\sigma_{\text{max}}$ 被实现，从而证实了谱界的精确性。