[论文解读] Optimal Second-Order Rates for Quantum Soft Covering and Privacy Amplification

Yuchen Shen, Li Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文利用迹距离作为安全度量，建立了量子软覆盖与隐私放大的一次性表征。结果表明，最优二阶速率分别由量子互信息方差和条件信息方差决定，且通过假设检验熵与信息给出了精确的操作量，避免了平滑技术的使用。

ABSTRACT

We study quantum soft covering and privacy amplification against quantum side information. The former task aims to approximate a quantum state by sampling from a prior distribution and querying a quantum channel. The latter task aims to extract uniform and independent randomness against quantum adversaries. For both tasks, we use trace distance to measure the closeness between the processed state and the ideal target state. We show that the minimal amount of samples for achieving an $\varepsilon$-covering is given by the $(1-\varepsilon)$-hypothesis testing information (with additional logarithmic additive terms), while the maximal extractable randomness for an $\varepsilon$-secret extractor is characterized by the conditional $(1-\varepsilon)$-hypothesis testing entropy. When performing independent and identical repetitions of the tasks, our one-shot characterizations lead to tight asymptotic expansions of the above-mentioned operational quantities. We establish their second-order rates given by the quantum mutual information variance and the quantum conditional information variance, respectively. Moreover, our results extend to the moderate deviation regime, which are the optimal asymptotic rates when the trace distances vanish at sub-exponential speed. Our proof technique is direct analysis of trace distance without smoothing.

研究动机与目标

• 通过为量子软覆盖与针对量子侧信息的隐私放大提供一次性表征，填补量子信息理论中的一个空白。
• 使用迹距离作为性能指标，推导这些任务的紧致二阶渐近展开式。
• 在迹距离亚指数衰减的中等偏差范围内，建立最优速率。
• 在迹距离分析中避免使用平滑技术，从而实现更直接且更紧致的界。
• 证明当使用迹距离而非平滑熵时，假设检验熵与信息是自然的一次性操作量。

提出的方法

• 作者采用无需平滑的直接迹距离分析，依赖假设检验信息与熵来表征操作量。
• 他们将 $(1-\varepsilon)$-假设检验信息 $I_{\text{h}}^{1-\varepsilon}(X:B)_\rho$ 定义为软覆盖的关键量，将 $(1-\varepsilon)$-条件假设检验熵 $H_{\text{h}}^{1-\varepsilon}(X|E)_\rho$ 定义为隐私放大的关键量。
• 证明技术涉及利用夹心Rényi散度有界迹距离，并应用引理3推导码本大小与可提取随机性的下界。
• 通过将一次性量与量子互信息方差及条件信息方差关联，推导出紧致的二阶展开式。
• 通过表征迹距离衰减速度不快于 $O(1/\sqrt{n})$ 的情形，将分析扩展至中等偏差范围。
• 通过夹心Rényi散度 $D_{\text{s}}^{1-\varepsilon}(\rho_{XB} \| \rho_X \otimes \rho_B)$ 与假设检验散度 $D_{\text{h}}^{1-\varepsilon}(\rho_{XB} \| \rho_X \otimes \rho_B)$ 之间的不等式验证了该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在迹距离约束下，量子软覆盖的最小码本大小的一次性最优表征是什么？
• RQ2 在不使用平滑的情况下，如何利用迹距离表征隐私放大中可提取的最大随机性？
• RQ3 当误差被常数 $\varepsilon \in (0,1)$ 限制时，量子软覆盖与隐私放大的二阶渐近速率是什么？
• RQ4 在中等偏差范围内，即迹距离亚指数衰减时，速率的行为如何？
• RQ5 当使用迹距离而非平滑熵时，假设检验信息与熵能否作为自然的一次性操作量？

主要发现

• 在 $\varepsilon$-覆盖下，最小码本大小由 $(1-\varepsilon)$-假设检验信息 $I_{\text{h}}^{1-\varepsilon}(X:B)_\rho$ 表征，仅相差对数级加法项。
• 在 $\varepsilon$-保密隐私放大中，可提取的最大随机性由 $(1-\varepsilon)$-条件假设检验熵 $H_{\text{h}}^{1-\varepsilon}(X|E)_\rho$ 给出。
• 在独立同分布重复下，量子软覆盖的二阶速率为 $V(X:B|\rho)$，即量子互信息方差。
• 在独立同分布重复下，隐私放大的二阶速率为 $V(X:E|\rho)$，即量子条件信息方差。
• 在中等偏差范围内，最优速率由相同的方差表征，迹距离以 $O(1/\sqrt{n})$ 速度衰减。
• 该证明避免了平滑技术，直接分析迹距离，从而获得比先前方法更紧致且更直接的界。