[论文解读] Optimal short-time measurements for Hamiltonian learning

Assaf Zubida, Elad Yitzhaki+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 14

一句话总结

该论文提出了一种最优的、与系统尺寸无关的测量协议，用于通过短时动力学学习短程量子哈密顿量。通过利用随机和去随机化的态制备以及局域测量，该方法通过时间导数可观测量的线性反演实现高效重建，同时通过利用哈密顿量对称性和可交换可观测量分组，改进了误差标度。

ABSTRACT

Characterizing noisy quantum devices requires methods for learning the underlying quantum Hamiltonian which governs their dynamics. Often, such methods compare measurements to simulations of candidate Hamiltonians, a task which requires exponential computational complexity. Here, we propose efficient measurement schemes based on short-time dynamics which circumvent this exponential difficulty. We provide estimates for the optimal measurement schedule and reconstruction error, and verify these estimates numerically. We demonstrate that the reconstruction requires a system-size independent number of experimental shots, and identify a minimal set of state preparations and measurements which yields optimal accuracy for learning short-ranged Hamiltonians. Finally, we show how grouping of commuting observables and use of Hamiltonian symmetries improve the accuracy of the Hamiltonian reconstruction.

研究动机与目标

• 解决从长时间动力学学习哈密顿量时的指数级经典复杂度问题。
• 克服模拟多体动力学以进行哈密顿量重建时的计算瓶颈。
• 开发一种测量协议，确保在最小实验测量次数和经典计算量下实现精确重建。
• 识别出一组最小的、固定的初始态和测量基，以保证对短程哈密顿量的最优精度。
• 利用时间反演对称性和可交换可观测量分组，进一步降低重建误差。

提出的方法

• 使用短时动力学（哈密顿量参数的线性量级）以避免指数级模拟复杂度。
• 将重建公式化为线性系统 $\vec{b} = K\vec{c}$，其中 $\vec{b}$ 包含时间导数测量值，$K$ 由初始态和可观测量预先计算得到。
• 应用伪逆 $K^+ = (K^T K)^{-1} K^T$，从测量得到的 $\vec{b}$ 恢复哈密顿量系数 $\vec{c}$。
• 通过在晶格上实施重叠层析技术，实现去随机化协议，以固定初始态和测量基，确保精度。
• 将可交换可观测量分组，并利用时间反演对称性（例如，$Y \mapsto -Y$）以减少系统误差并改善标度。
• 基于对哈密顿量的粗略先验，数值估算最优测量时间，以最小化线性近似中的系统误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 短时动力学是否能实现系统尺寸无关的哈密顿量学习，且实验测量次数最少？
• RQ2 在短程哈密顿量学习中，最小化重建误差的最优测量时序和时间是什么？
• RQ3 时间反演不变性等对称性如何影响重建误差的标度？
• RQ4 固定的、非随机的初始态和测量基集合能否实现与随机化协议相同的精度？
• RQ5 对可交换可观测量进行分组在多大程度上能减少所需测量次数并改善误差标度？

主要发现

• 该协议实现了系统尺寸无关的重建，无论系统大小，仅需恒定数量的实验测量次数。
• 由于时间反演对称性，$XXZ$ 哈密顿量的重建误差标度为 $N^{-1/3}$，优于通用的 $N^{-1/4}$ 标度。
• 最优测量时间基于对哈密顿量的粗略先验进行数值估算，以最小化线性近似中的系统误差。
• 去随机化协议通过使用固定且最小的初始态和测量基集合，保证了与随机化方案相同的精度。
• 对可交换可观测量进行分组并利用对称性，可同时降低测量开销和重建误差，尤其在对称哈密顿量中效果显著。
• 与通用协议相比，该方法有效消除了误差标度中的一个 $\log n$ 因子，显著提升了高维系统中的效率。