[论文解读] Optimal Skorokhod embedding given full marginals and Azema-Yor peacocks

Sigrid Källblad, Xiaolu Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在[0,1]区间上全边际约束下，建立了最优Skorokhod嵌入问题的一般对偶性结果，将先前针对有限时间点边际的结论推广至连续时间情形。通过从Azéma-Yor嵌入和局部鞅运输理论出发的极限论证，刻画了当收益依赖于局部鞅最大值时的最优嵌入及其对偶形式，为极值peacock过程提供了显式解。

ABSTRACT

We consider the optimal Skorokhod embedding problem (SEP) given full marginals over the time interval $[0,1]$. The problem is related to the study of extremal martingales associated with a peacock ("process increasing in convex order", by Hirsch, Profeta, Roynette and Yor). A general duality result is obtained by convergence techniques. We then study the case where the reward function depends on the maximum of the embedding process, which is the limit of the martingale transport problem studied in Henry-Labordere, Obloj, Spoida and Touzi. Under technical conditions, some explicit characteristics of the solutions to the optimal SEP as well as to its dual problem are obtained. We also discuss the associated martingale inequality.

研究动机与目标

• 将有限边际最优Skorokhod嵌入的对偶性结果推广至[0,1]区间上的全边际情形。
• 刻画给定peacock过程在最大值相关收益函数下的最优局部鞅peacock形式。
• 通过迭代Azéma-Yor嵌入的极限论证，推导出最优原问题与对偶问题解的显式表达式。
• 利用具有给定边际的极值局部鞅，建立非模型依赖的奇异期权价格边界。
• 将局部鞅运输方法推广至连续时间边际约束与基于最大值的收益情形。

提出的方法

• 通过取Guo, Tan, 和 Touzi (2015) 针对有限边际的对偶性结果的极限，推导出全边际下最优Skorokhod嵌入的一般对偶性结果。
• 应用收敛技术，将有限边际情形下的迭代Azéma-Yor嵌入推广至连续时间边际约束。
• 利用局部鞅Spence-Mirrlees条件及极限论证，刻画最优值与最优解。
• 依赖Kellerer定理以保证给定边际下局部鞅的存在性，以及Monroe嵌入定理以确保停止时间的存在性。
• 通过有限边际问题解的极限构造原问题与对偶问题的最优解，利用右连续性与一致可积性。
• 采用带随机时间变换的典范概率空间，并利用Lévy度量与路径空间上的Borel σ-代数证明关键泛函的可测性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将最优Skorokhod嵌入的对偶框架从有限个边际推广至[0,1]区间上的全连续时间边际约束？
• RQ2 当收益依赖于局部鞅过程的最大值时，最优嵌入的显式形式是什么？
• RQ3 全边际问题的原问题与对偶问题最优解与有限边际情形下的迭代Azéma-Yor嵌入有何关系？
• RQ4 从具有给定边际的极值peacock过程导出的奇异期权价格的非模型依赖边界是什么？
• RQ5 在技术条件下，如何严格证明有限边际解收敛于全边际解？

主要发现

• 通过有限边际对偶性结果的收敛性，建立了全边际下最优Skorokhod嵌入问题的一般对偶性结果。
• 对于最大值相关收益，最优解被刻画为有限边际情形下迭代Azéma-Yor嵌入的极限。
• 最优值及原问题/对偶问题最优解均以peacock过程的累积分布函数与最大过程显式表示。
• 利用路径空间上的Lévy度量与控制收敛定理，证明了有限边际解向全边际解的收敛性。
• 证明了对偶问题的解与收益函数的凸下包络相关，推广了有限边际情形下的已知结果。
• 本文确认最优局部鞅为peacock，并通过时间变换的布朗运动提供了其路径实现的构造方法。