[论文解读] Optimal SL(2)-homomorphisms

George J. McNinch|ArXiv.org|Sep 23, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文建立了在非常良好特征的代数闭域上，半单代数群 G 中最优 SL(2)-同态的共轭性。证明了对于给定的幂零元 X，任意两个此类同态在 X 的连通中心化子下共轭，从而得出主同态共轭类的唯一性，并表明任意最优同态的像为 G-完全可约子群。当 X 为 K-有理且 p-幂零时，该结果可推广至任意基域上的有理结构。

ABSTRACT

Let G be a semisimple group over an algebraically closed field of very good characteristic for G. In the context of geometric invariant theory, G. Kempf has associated optimal cocharacters of G to an unstable vector in a linear G-representation. If the nilpotent element X in Lie(G) lies in the image of the differential of a homomorphism SL(2) --> G, we say that homomorphism is optimal for X, or simply optimal, provided that its restriction to a suitable torus of SL(2) is optimal for X in Kempf's sense. We show here that any two SL(2)-homomorphisms which are optimal for X are conjugate under the connected centralizer of X. This implies, for example, that there is a unique conjugacy class of principal homomorphisms for G. We show that the image of an optimal SL(2)-homomorphism is a completely reducible subgroup of G; this is a notion defined recently by J-P. Serre. Finally, if G is defined over the (arbitrary) subfield K of k, and if X in Lie(G)(K) is a K-rational nilpotent element whose p-th power is 0, we show that there is an optimal homomorphism for X which is defined over K.

研究动机与目标

• 在代数闭域上，为半单群 G 中的幂零元 X 建立最优 SL(2)-同态的共轭性。
• 证明任意最优 SL(2)-同态的像为 G-完全可约子群（Serre 定义）。
• 当 X 为 K-有理的 p-幂零元时，证明存在定义在基域 K 上的最优 SL(2)-同态。
• 证明最优同态等价于 Seitz 定义的良（受限）A₁-子群。
• 将关于不稳定旗和共轭性共轭的结果推广至 SL(2)-同态的设定。

提出的方法

• 利用几何不变理论中由 Kempf 和 Rousseau 发展的最优共轭特征理论，通过限制到 SL₂ 的标准环面来定义最优 SL(2)-同态。
• 应用 Hilbert-Mumford 准则和阶公式，分析与 p-幂零元相关的共轭特征的权。
• 运用 Seitz 关于倾模和良同态的结果，证明通过最优同态诱导的 SL₂ 的伴随表示为倾模。
• 利用共轭特征的结果和中心化子的结构，证明最优同态在 C_G⁰(X) 作用下共轭。
• 应用基变换和有理性技巧，当 X 为 K-有理且 p-幂零时，将最优同态下降到基域 K。
• 依赖 Springer 在幂零轨道与单点轨道之间的同构关系，以及 Frobenius 拓展理论，分析李代数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定幂零元 X ∈ Lie(G)，所有最优 SL(2)-同态是否在 X 的连通中心化子下共轭？
• RQ2 最优 SL(2)-同态的像是否构成 G-完全可约子群？
• RQ3 对于 K-有理的 p-幂零元 X，能否定义一个定义在基域 K 上的最优 SL(2)-同态？
• RQ4 最优 SL(2)-同态与 Seitz 定义的良（受限）A₁-子群有何关系？
• RQ5 在良好特征下，是否存在唯一的 G-共轭类的主同态？

主要发现

• 对于幂零元 X，任意两个最优 SL(2)-同态在连通中心化子 C_G⁰(X) 下共轭，如定理 44 所证。
• 任意最优 SL(2)-同态的像为 G-完全可约子群，如定理 52 所证。
• 对于任意 K-有理的 p-幂零元 X ∈ Lie(G)(K)，存在一个定义在 K 上的最优 SL(2)-同态。
• 与 p-幂零元相关的共轭特征的权有上界 2p−2，意味着最优同态在 Seitz 意义下为良同态。
• 存在唯一的 G-共轭类的主同态，由最优同态的共轭性推出。
• 当 φ 为最优同态时，伴随表示 (Ad∘φ, Lie(G)) 是 SL₂ 的倾模，该结果用于证明共轭性。