[论文解读] Optimal Sparse Output Feedback Control Design: a Rank Constrained Optimization Approach

Reza Arastoo, Nader Motee+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 44被引用 16

一句话总结

本文提出一种秩约束优化框架，用于设计线性时不变系统的最优稀疏输出反馈控制器，将非凸的稀疏性促进问题转化为秩最小化问题。通过结合ADMM与$ε$-次梯度方法，实现了具有全局收敛性的次优解，同时融入控制输入/输出范数约束，并支持具有保证稳定性与性能边界结构化控制器的综合设计。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal sparse output feedback controller synthesis for continuous linear time invariant systems when the feedback gain is static and subject to specified structural constraints. Introducing an additional term penalizing the number of non-zero entries of the feedback gain into the optimization cost function, we show that this inherently non-convex problem can be equivalently cast as a rank constrained optimization, hence, it is an NP-hard problem. We further exploit our rank constrained approach to define a structured output feedback control feasibility test with global convergence property, then, obtain upper/lower bounds for the optimal cost of the sparse output feedback control problem. Moreover, we show that our problem reformulation allows us to incorporate additional implementation constraints, such as norm bounds on the control inputs or system output, by assimilating them into the rank constraint. We propose to utilize a version of the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) as an efficient method to sub-optimally solve the equivalent rank constrained problem. As a special case, we study the problem of designing the sparsest stabilizing output feedback controller, and show that it is, in fact, a structured matrix recovery problem where the matrix of interest is simultaneously sparse and low rank. Furthermore, we show that this matrix recovery problem can be equivalently cast in the form of a canonical and well-studied rank minimization problem. We finally illustrate performance of our proposed methodology using numerical examples.

研究动机与目标

• 解决在结构与性能约束下最优稀疏输出反馈控制器综合的NP难问题。
• 将本质上非凸的稀疏控制器设计问题重新表述为秩约束优化问题，以实现全局收敛性与性能边界。
• 将实际实现约束（如控制输入与系统输出的范数边界）融入控制器设计框架。
• 利用ADMM开发一种计算高效的次优解法，求解秩约束问题。
• 证明最稀疏的稳定化控制器设计等价于结构化低秩与稀疏矩阵恢复问题。

提出的方法

• 将稀疏输出反馈控制问题重新表述为秩约束优化问题，以秩约束替代非凸的$ε$-范数。
• 利用交替方向乘子法（ADMM）迭代求解松弛后的秩约束优化问题，将解投影至秩-$n$矩阵。
• 引入重加权$ε$-范数最小化策略，以逼近$ε_0$-范数以促进稀疏性。
• 通过将控制输入与系统输出的范数约束整合进秩约束框架，实现其嵌入。
• 基于秩约束设计可行性检验，推导稀疏控制问题最优代价的上下界。
• 将寻找最稀疏稳定化控制器的问题转化为仿射秩最小化问题，即矩阵恢复中的典型问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 稀疏输出反馈控制器设计问题能否等价地重述为秩约束优化问题，以实现全局收敛性与性能边界？
• RQ2 如何自然地将控制输入与系统输出的范数约束整合进稀疏控制器设计框架？
• RQ3 最稀疏稳定化控制器与结构化低秩/稀疏矩阵恢复之间存在何种关系？
• RQ4 基于ADMM的解法在保持稳定性与稀疏性的同时，能在多大程度上实现次优性能？
• RQ5 施加控制输入范数边界对最终控制器的稀疏性与性能有何影响？

主要发现

• 所提方法通过秩约束优化，利用ADMM实现稀疏输出反馈控制的次优解，且具有全局收敛性保证。
• 对于一个16×16的空间衰减系统，当无输入范数约束时，稀疏控制器具有55个非零元素，与LQR控制器相比性能损失为9.3%。
• 当控制输入范数被限制在200以内时，控制器显著降低稀疏性（非零元素增至105个），性能损失提高6%（737.16 vs. 639.19）。
• ADMM惩罚参数$\rho$必须至少比$\lambda$大一个数量级，才能确保收敛至次优最小值。
• 最稀疏稳定化控制器问题等价于一个同时具有稀疏性与低秩特性的结构化矩阵恢复问题，可表述为典型秩最小化问题。
• 该方法可提供稀疏控制问题最优代价的上下界，支持性能评估与基准比较。