[论文解读] Optimal Stopping for Dynamic Convex Risk Measures

Erhan Bayraktar, Ioannis Karatzas+1 more|ArXiv.org|Sep 27, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文在连续时间最优停时问题下，针对动态凸风险测度，利用倒向随机微分方程与BMO鞅构造了一个鲁棒零和博弈中停时者与控制者之间的鞍点，建立了极小极大结果。关键贡献在于证明了在概率测度集不满足粘贴封闭性时，仍存在一个最优停时时间，使风险最小化，体现Knight不确定性下的鲁棒性。

ABSTRACT

We use martingale and stochastic analysis techniques to study a continuous-time optimal stopping problem, in which the decision maker uses a dynamic convex risk measure to evaluate future rewards. We also find a saddle point for an equivalent zero-sum game of control and stopping, between an agent (the "stopper") who chooses the termination time of the game, and an agent (the "controller", or "nature") who selects the probability measure.

研究动机与目标

• 解决一个连续时间最优停时问题，其中收益使用动态凸风险测度而非期望进行评估。
• 通过将问题表述为停时者与选择概率测度的控制者之间的零和随机博弈，实现Knight不确定性下的鲁棒性。
• 为该博弈构造一个鞍点，确保最优停时与测度选择之间的均衡。
• 通过局部化与逼近技术，克服由于测度集不满足粘贴封闭性及漂移过程无界性带来的技术挑战。
• 证明存在一个最优停时时间，可实现风险测度评估中的本质下确界。

提出的方法

• 利用凸风险测度的对偶表示，通过等价概率测度上的惩罚函数f，表示动态凸风险测度的上确界形式。
• 应用反射倒向随机微分方程（RBSDE）建模价值过程，利用比较定理与二次生成元结构。
• 采用BMO鞅技巧处理漂移过程的无界性，避免了先前工作中依赖的紧致性假设。
• 通过截断与局部化逼近价值过程，并在可积性约束下构造解。
• 建立期望收益加上惩罚项在测度上的本质上确界与下确界之间的极小极大等式。
• 通过识别特定测度Q*与停时τ*，构造出满足博弈均衡条件的鞍点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当概率测度集不满足粘贴封闭性时，能否在连续时间下为动态凸风险测度刻画最优停时时间？
• RQ2 在此鲁棒框架下，停时者问题与控制者问题之间的极小极大等式是否成立？
• RQ3 当惩罚函数f为凸且漂移过程无界时，能否在控制与停时的零和博弈中构造出鞍点？
• RQ4 当标准紧致性或有界性假设不成立时，价值过程如何表示与逼近？
• RQ5 RBSDE与BMO鞅在确保凸风险评估下最优停时规则的存在性与正则性方面发挥何种作用？

主要发现

• 建立了极小极大等式：在风险测度下最优停时问题的值等于相应鲁棒控制-停时博弈的值。
• 构造了最优停时时间τ*(ν)，定义为价值过程V^0,ν首次触及收益过程Y的时间，确保其在风险测度中实现本质下确界。
• 价值过程V^0,ν具有右连续左极限（RCLL）修正，确保其正则性与可测性。
• 构造出鞍点(Q*, τ*)，使得停时者的最优策略为在τ*停止，控制者的最优测度为Q*，实现均衡。
• 解对漂移过程的无界性具有鲁棒性，且无需Radon-Nikodym导数有界，克服了先前方法的局限性。
• 价值函数V(ν)满足一个二次反射倒向随机微分方程（QRBSDE），将风险测度与随机控制理论联系起来。