[论文解读] Optimal stopping of a risk process when claims are covered immediately

Bogdan K. Muciek, Krzysztof Szajowski|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Probability and Risk Models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文将一个风险过程中的最优停时问题形式化并求解，该过程的特点是索赔立即支付，同时考虑利率、通货膨胀以及即时支付对投资回报的影响。通过动态规划和连续时间的随机过程方法，推导出在有限和无限索赔时间范围内的最优停时，表明解的关键取决于投资回报、索赔支付时机与索赔规模动态之间的相互作用。

ABSTRACT

The optimal stopping problem for the risk process with interests rates and when claims are covered immediately is considered. An insurance company receives premiums and pays out claims which have occured according to a renewal process and which have been recognized by them. The capital of the company is invested at interest rate $α\in\Re^{+}$, the size of claims increase at rate $β\in\Re^{+}$ according to inflation process. The immediate payment of claims decreases the company investment by rate $α_1$. The aim is to find the stopping time which maximizes the capital of the company. The improvement to the known models by taking into account different scheme of claims payment and the possibility of rejection of the request by the insurance company is made. It leads to essentially new risk process and the solution of optimal stopping problem is different.

研究动机与目标

• 建立一个保险风险过程模型，其中索赔立即支付，且其支付方式影响资本以不同于一般资本回报率的速率增长。
• 通过引入通货膨胀、即时索赔结算以及索赔拒绝的可能性（通过伯努利分布的 $\varepsilon_n$）来扩展集体风险理论中现有的最优停时模型。
• 推导出在有限和无限时间范围内，使公司资本预期效用最大化的最优停时。
• 利用动态规划与停时空间上的压缩映射，建立并刻画最优停时的存在性与特征。
• 表明即时索赔支付的解并非先前关于延迟或无索赔支付模型的直接推广，因此需要引入新的分析工具。

提出的方法

• 将风险过程 $U_t$ 定义为一个路径连续确定性过程，其资本以速率 $\alpha$ 增长，保费收入以速率 $c$ 进入，索赔支付为 $X_n e^{\beta T_n} e^{\alpha_1 (t - T_n)}$。
• 引入效用函数 $g(U_t, t_0 - t)$，并定义回报过程 $Z(t) = g(U_t) \mathbf{1}_{\{U_s > 0, \, \forall s \leq t\}}$。
• 应用动态规划方法求解有限与无限时间范围内的最优停时问题，使用通过条件期望定义的算子 $\Phi$。
• 利用过程 $\eta_t = (t, U_t, Y_t, V_t)$ 的强生成元 $A$ 来刻画该过程的无穷小生成元，并推导出动态规划方程。
• 通过在算子 $\Phi$ 上使用压缩映射，基于索赔间隔时间超过 $t_0$ 的概率为正的假设，证明了最优停时的存在性。
• 显式推导出强生成元 $A\tilde{g}$ 的形式，其中包含索赔间隔时间的概率密度 $f$、生存函数 $\bar{F}$、索赔规模分布 $H$，并纳入了索赔拒绝概率 $p$ 与索赔规模的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有随机索赔与利率的风险过程中，即时索赔支付如何影响最优停时？
• RQ2 当索赔立即支付且公司资本以不同于索赔支付速率的利率投资时，最优停时的结构是怎样的？
• RQ3 通过引入索赔拒绝机制（$\varepsilon_n$）与通货膨胀（$\beta$），与标准模型相比，风险过程与最优停时策略如何改变？
• RQ4 无限时间范围内的最优停时问题是否可以通过有限时间范围解的极限来求解？收敛的条件是什么？
• RQ5 强生成元在刻画具有随机跳跃的路径连续确定性风险过程的最优停时中起什么作用？

主要发现

• 无限时间范围问题的最优停时 $\tau^*$ 存在，且是有限时间范围最优停时 $\tau^*_{n,K}$ 关于 $K \to \infty$ 的几乎必然极限。
• 有限时间范围问题的解由动态规划算子 $\Phi$ 刻画，且在索赔间隔时间超过 $t_0$ 的概率为正的假设下，该算子满足压缩性质。
• 过程 $\eta_t$ 的强生成元 $A\tilde{g}$ 被显式推导，其形式包含了索赔规模、索赔拒绝概率 $p$、通货膨胀 $\beta$ 以及投资利率 $\alpha$、$\alpha_1$ 的影响。
• 第 $n$ 次索赔时的最优停时 $\tilde{\tau}_n$ 满足 $\mathbb{E}[Z(\tilde{\tau}_n) \mid \mathcal{F}_n] = \mu_n \gamma(U_{T_n}, T_n)$ 几乎必然成立，其中 $\mu_n$ 是时间 $T_n$ 处的值函数。
• 具有即时索赔支付的模型导致与延迟或无索赔支付模型截然不同的风险过程与解，这由 $\alpha_1$ 的非平凡依赖性与索赔拒绝机制所体现。
• 该解并非先前 Ferenstein & Sierociński (1997)、Muciek (2002)、Yasuda (1984) 或 Schöttl (1998) 的结果的直接推论，原因在于索赔支付时机的结构及其对资本动态的特殊影响。