[论文解读] Optimal stopping of Hunt and Lévy processes

Ernesto Mordecki, Paavo Salminen|ArXiv.org|May 2, 2006

Probability and Risk Models被引用 6

一句话总结

本文利用 Green 核与过度函数理论，为 Hunt 过程和 Lévy 过程中的最优停时问题建立了值函数的谱表示。关键结果表明，最优停时边界对应于谱测度的支集；对于 Lévy 过程，通过 Wiener-Hopf 分解，解可显式地用最大过程表示，从而为布朗运动带指数跳变以及带正指数跳变和负漂移的复合泊松过程等情形提供显式解。

ABSTRACT

The optimal stopping problem for a Hunt processes on $\R$ is considered via the representation theory of excessive functions. In particular, we focus on infinite horizon (or perpetual) problems with one-sided structure, that is, there exists a point $x^*$ such that the stopping region is of the form $[x^*,+\infty)$. Corresponding results for two-sided problems are also indicated. The main result is a spectral representation of the value function in terms of the Green kernel of the process. Specializing in Lévy processes, we obtain, by applying the Wiener-Hopf factorization, a general representation of the value function in terms of the maximum of the Lévy process. To illustrate the results, an explicit expression for the Green kernel of Brownian motion with exponential jumps is computed and some optimal stopping problems for Poisson process with positive exponential jumps and negative drift are solved.

研究动机与目标

• 通过过度函数理论与谱表示，刻画 Hunt 过程在无限时域最优停时问题中的值函数。
• 建立由 Green 核表示导出的谱测度支集与停时区域之间的联系。
• 通过应用 Wiener-Hopf 分解，将框架扩展至 Lévy 过程，以最大过程表示值函数。
• 为带指数跳变的布朗运动以及带正指数跳变和负漂移的复合泊松过程求解显式最优停时问题。
• 在各种参数条件下，提供最优停时边界的数值解与渐近行为。

提出的方法

• 利用过度函数理论与 Riesz 分解，将值函数表示为奖励函数的最小过度上界。
• 使用 Hunt 过程的 Green 核，将值函数表示为关于谱测度的积分，其中停时区域被识别为该测度的支集。
• 对于 Lévy 过程，应用 Wiener-Hopf 分解，将过程在指数时间点分解为其上确界与下确界分量。
• 推导值函数的一般表示形式，以 Lévy 过程上确界分布为基础，尤其适用于单边问题。
• 显式计算带指数跳变的布朗运动的 Green 核，以闭式形式求解最优停时问题。
• 利用奖励函数 $ g(x) = (x^+)^\gamma $，$ \gamma \geq 1 $，求解带负漂移和正指数跳变的复合泊松过程的最优停时问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Green 核与谱测度表示 Hunt 过程最优停时问题的值函数？
• RQ2 在单边问题中，谱测度的支集与最优停时区域之间存在何种关系？
• RQ3 Wiener-Hopf 分解如何实现以 Lévy 过程上确界表示值函数？
• RQ4 带指数跳变的布朗运动的最优停时边界的显式形式为何？
• RQ5 在奖励函数 $ (x^+)^\gamma $ 下，带正指数跳变和负漂移的复合泊松过程的最优停时边界行为如何？

主要发现

• 对于奖励函数 $ g(x) = (x^+)^\gamma $ 的复合泊松过程，最优停时边界 $ x^*_{\gamma} $ 是方程 $ x^\gamma = (\alpha - \rho) e^{\alpha x} \int_x^\infty e^{-\alpha z} z^\gamma dz $ 的唯一解，该方程由 Green 核与谱测度表示导出。
• 当 $ \rho \ll \alpha $ 时，最优边界 $ x^*_{\gamma} \approx \gamma / \rho $，表明其渐近行为与漂移和奖励指数一致。
• 值函数连续，且对 $ x < x^*_{\gamma} $ 满足 $ V(x) = e^{\rho(x - x^*_{\gamma})} (x^*_{\gamma})^\gamma $，确认了光滑性与正确的边界行为。
• 在 $ x^*_{\gamma} $ 处光滑匹配条件不成立，因为 $ V'(x^*_{\gamma}-) = \rho (x^*_{\gamma})^\gamma $ 而 $ g'(x^*_{\gamma}) = \gamma (x^*_{\gamma})^{\gamma-1} $，表明边界处存在角点。
• 数值结果表明 $ x^*_{\gamma} < \gamma / \rho $，且差值随 $ \gamma $ 增大而增加，其中 $ x^o_{\gamma} = \varphi(\gamma - 1) $ 提供下界。
• 显式计算了带指数跳变的布朗运动的 Green 核，从而可导出谱测度与值函数的闭式表达。