[论文解读] Optimal stopping problems for a Brownian motion with a disorder on a finite interval

Albert N. Shiryaev, Mikhail Zhitlukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文在有限时间区间内求解了带紊乱的布朗运动与几何布朗运动的最优停时问题——即漂移从正变为负的时间点未知。通过测度变换与Shiryaev-Roberts统计量，推导出最优停时为马氏过程首次击中时变边界的首 hitting 时间，其边界由伏尔泰拉积分方程刻画。关键结果表明，在资产清算时机选择上，风险中性与风险厌恶投资者行为不同。

ABSTRACT

We consider optimal stopping problems for a Brownian motion and a geometric Brownian motion with a "disorder", assuming that the moment of a disorder is uniformly distributed on a finite interval. Optimal stopping rules are found as the first hitting times of some Markov process (the Shiryaev-Roberts statistic) to time-dependent boundaries, which are characterized by certain Volterra integral equations. The problems considered are related to mathematical finance and can be applied in questions of choosing the optimal time to sell an asset with changing trend.

研究动机与目标

• 确定使线性或几何布朗运动的期望值最大化的最优停时，其漂移在未知时间发生改变。
• 将紊乱时间建模为有限区间上的均匀分布，以反映金融泡沫中的贝叶斯不确定性。
• 将最优停时规则表征为马氏过程（Shiryaev-Roberts统计量）首次击中时变边界的首 hitting 时间。
• 在测度变换下，通过伏尔泰拉积分方程刻画边界。
• 比较风险中性与风险厌恶投资者在紊乱条件下的资产清算行为。

提出的方法

• 使用测度变换将原始概率测度转化为在该测度下似然过程为扩散过程的维纳测度。
• 应用Shiryaev-Roberts统计量作为紊乱检测的充分统计量，将问题简化为马氏最优停时框架。
• 推导在新测度下后验概率过程 ψ_t 的动态，其满足含漂移与波动率参数的随机微分方程。
• 将最优边界 a(t) 表征为由最优性条件导出的伏尔泰拉积分方程的解。
• 利用Feynman-Kac公式与伊腾引理，推导在新测度下期望收益的显式表达式。
• 应用先前工作中的一条命题（参考文献[10]），证明最优停时为 ψ_t 首次击中时变边界 a(t) 的时间，且上限为 T。

实验结果

研究问题

• RQ1 当紊乱时间在有限区间上服从均匀分布时，带紊乱的布朗运动的最优停止时间是什么？
• RQ2 风险中性投资者（最大化 E[S_τ]）与风险厌恶投资者（最大化 E[X_τ]）的最优停止规则有何不同？
• RQ3 最优停止时间能否表示为马氏过程首次击中时变边界的首 hitting 时间？
• RQ4 在有限时间 horizon 下，刻画最优边界的积分方程是什么？
• RQ5 紊乱时间的分布如何影响金融泡沫中资产最优清算的时机？

主要发现

• 线性布朗运动问题的最优停止时间为Shiryaev-Roberts统计量首次击中时变边界 a(t) 的首 hitting 时间，其中 a(t) 满足一个伏尔泰拉积分方程。
• 对于几何布朗运动，最优停止时间同样由同一统计量首次击中时变边界的首 hitting 时间表征，边界通过测度变换推导得出。
• 风险中性投资者（最大化 E[S_τ]）若满足 P(θ < T) = 1（即 T 处无质量），则以概率 1 在时间 T 之前卖出。
• 风险厌恶投资者（最大化 E[X_τ]）在相同条件下可能以正概率在时间 T 才卖出，即 P(τ_*^{(l)} = T) > 0。
• 价值函数 V^{(l)} 与 V^{(g)} 通过涉及过程 ψ_t 与时变边界的期望表达式给出，利用伊腾公式与测度变换推导得出。
• 边界函数 a(t) 在 [0,T] 上连续、非增，且满足一个确保停止规则最优性的伏尔泰拉积分方程。