[论文解读] Optimal Stopping under G-expectation

Hanwu Li|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文在 G-期望下建立了最优停時理論，引入 G-停時以處理Knight不確定性，特別是波動率不確定性。證明了值函數為支配收益過程的最小 G-上鞅，並與反射 G-BSDE 連結，將經典結果從離散時間推廣至連續與無限時間時 horizon，並證明了最佳停時的存在性。

ABSTRACT

We develop a theory of optimal stopping problems under G-expectation framework. We first define a new kind of random times, called G-stopping times, which is suitable for this problem. For the discrete time case with finite horizon, the value function is defined backwardly and we show that it is the smallest G-supermartingale dominating the payoff process and the optimal stopping time exists. Then we extend this result both to the infinite horizon and to the continuous time case. We also establish the relation between the value function and solution of reflected BSDE driven by G-Brownian motion.

研究动机与目标

• 發展 G-期望下的最佳停時理論，以建模 Knight 不確定性，特別是波動率不確定性。
• 定義一類新的隨機時刻——G-停時，其能保持時間一致性與條件 G-期望性質。
• 將經典最佳停時框架（其中值函數為最小上鞅）推廣至非線性 G-框架。
• 建立值函數與由 G-布朗運動驅動的反射倒向隨機微分方程（BSDE）解之間的聯繫。
• 證明最佳停時的存在性，並在離散、無限與連續時間設定下特徵化值函數。

提出的方法

• 引入 G-停時作為適用於 G-期望的停時之推廣，確保條件 G-期望有明確定義。
• 在離散有限時 horizon 設定中，以逆向方式定義值函數，並證明其為支配收益過程的最小 G-上鞅。
• 透過有限時 horizon 值函數的極限，將值函數延伸至無限時 horizon，並保持最小 G-上鞅性質。
• 建立值函數與具有下界障礙的反射 G-BSDE 解之間的聯繫，其中解 Y 為支配障礙過程 X 的 G-上鞅。
• 利用 Hu, Ji, Peng, Song 所發展的 G-BSDE 與反射 G-BSDE 的存在唯一性理論，以驗證解的結構。
• 運用 Girsanov 變換與 G-BSDE 的比較定理，分析時間一致性與最佳性。

实验结果

研究问题

• RQ1 當傳統停時因缺乏擬必然可測性與條件期望問題而失效時，如何在 G-期望下表述最佳停時？
• RQ2 在 G-框架中，何種停時的推廣形式能保持時間一致性並支援逆向推導？
• RQ3 在 G-框架中，值函數是否仍為支配收益過程的最小 G-上鞅，如同經典情形一般？
• RQ4 值函數能否被表徵為反射 G-BSDE 的解？反射過程在最佳性中扮演何種角色？
• RQ5 在 G-期望下，結果如何從有限時 horizon 推廣至無限與連續時間時 horizon？

主要发现

• 在離散有限時 horizon 情形下，值函數為支配收益過程的最小 G-上鞅，且透過逆向推導獲得。
• 在無限時 horizon 情形下，值函數定義為有限時 horizon 值函數的極限，且仍為支配收益過程的最小 G-上鞅。
• 最佳停時存在，且為 G-停時，值過程在停時前為 G-鞅。
• 值函數與具有障礙過程 X 的反射 G-BSDE 解的第一組分量 Y 相等，其中 Y 為支配 X 的 G-上鞅。
• 在生成器、障礙與終點條件的標準條件下，反射 G-BSDE 的解存在且唯一，且 Y ∈ S_G^α(0,T) 對於 2 ≤ α < β。
• 即使在波動率不確定性下，值函數的最小 G-上鞅性質在 G-框架中仍被保留。