[论文解读] Optimal stopping under probability distortions and law invariant coherent risk measures

Denis Belomestny, Volker Kraetschmer|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种新颖的表示方法，将风险规避决策中常见的扭曲期望下的最优停止问题转化为一系列标准最优停止问题，从而实现动态规划。关键贡献在于一种原始表示，恢复了时间一致性，通过Kusuoka表示法扩展至分布不变的相干风险度量（如AVaR和绝对半偏差），并支持基于经验验证的蒙特卡洛算法。

ABSTRACT

In this paper we study optimal stopping problems with respect to distorted expectations of the form \begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,dG(F_X(x)), \end{eqnarray*} where $F_X$ is the distribution function of $X$ and $G$ is a convex distribution function on $[0,1].$ As a matter of fact, except for $G$ being the identity on $[0,1],$ dynamic versions of $\mathcal{E}(X)$ do not have the so-called time-consistency property necessary for the dynamic programming approach. So the standard approaches are not applicable to optimal stopping under $\mathcal{E}(X).$ In this paper, we prove a novel representation, which relates the solution of an optimal stopping problem under distorted expectation to the sequence of standard optimal stopping problems and hence makes the application of the standard dynamic programming-based approaches possible. Furthermore, by means of the well known Kusuoka representation, we extend our results to optimal stopping under general law invariant coherent risk measures. Finally, based on our novel representations, we develop several Monte Carlo approximation algorithms and illustrate their power for optimal stopping under Average Value at Risk and the absolute semideviation risk measures.

研究动机与目标

• 解决在扭曲期望下最优停止问题缺乏时间一致性的问题，该问题使得标准动态规划方法失效。
• 建立一种新颖的表示方法，将扭曲期望问题与标准最优停止问题联系起来，恢复动态规划的适用性。
• 利用Kusuoka表示法将该框架扩展至一般分布不变的相干风险度量。
• 开发适用于实际计算的蒙特卡洛算法，处理如平均超额损失（AVaR）和绝对半偏差等风险度量。
• 通过AVaR和半偏差风险度量的数值实验，对方法进行经验验证。

提出的方法

• 提出一种原始表示，将扭曲期望泛函重新表述为一系列标准最优停止问题，绕过时间不一致问题。
• 利用Kusuoka表示法，将结果从扭曲函数推广至一般分布不变的相干风险度量。
• 采用随机停止时间与稀疏集来刻画新表示下最优停止时间的性质。
• 推导加法型对偶表示，为理论基础提供支持，并实现数值近似。
• 基于原始表示开发蒙特卡洛算法，采用经验分布函数与重要性采样技术。
• 通过AVaR和绝对半偏差的数值实验验证方法，展示其收敛性与准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将扭曲期望下的最优停止问题重新表述，以恢复时间一致性并支持动态规划？
• RQ2 如何将扭曲期望的原始表示扩展至一般分布不变的相干风险度量？
• RQ3 在这些风险度量下，最优停止时间的结构是什么？如何实现高效计算？
• RQ4 蒙特卡洛方法能否有效应用于AVaR和绝对半偏差下的最优停止时间计算？
• RQ5 所提算法在实际场景中的收敛行为与数值性能如何？

主要发现

• 推导出一种新颖的原始表示，将扭曲期望下的最优停止问题转化为一系列标准最优停止问题，恢复了时间一致性。
• 该表示使得原本因缺乏时间一致性而难以处理的问题，现在可应用动态规划方法。
• 通过Kusuoka表示法，该框架被扩展至一般分布不变的相干风险度量，确保了广泛适用性。
• 基于原始表示的蒙特卡洛算法在AVaR和绝对半偏差风险度量下实现了收敛，并表现出优异性能。
• 数值结果证实了该方法的有效性，能准确逼近复杂风险度量下的最优停止时间。
• 该方法支持使用随机停止时间与稀疏集，以可处理的方式刻画最优停止策略。