[论文解读] Optimal Strategies of Blotto Games: Beyond Convexity

Soheil Behnezhad, Avrim Blum+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Merger and Competition Analysis被引用 3

一句话总结

本文針對兩項目標提出科隆內爾布洛托遊戲的多項式時間近似方案：一是最大化保證的期望報酬，二是最大化達到最低效用門檻的機率。透過將非凸解空間劃分為多項式多個凸多面體，作者克服了傳統凸優化的限制，並首次建立複雜度結果，顯示一般科隆內爾布洛托遊戲為指數時間完全問題。

ABSTRACT

The Colonel Blotto game, first introduced by Borel in 1921, is a well-studied game theory classic. Two colonels each have a pool of troops that they divide simultaneously among a set of battlefields. The winner of each battlefield is the colonel who puts more troops in it and the overall utility of each colonel is the sum of weights of the battlefields that s/he wins. Over the past century, the Colonel Blotto game has found applications in many different forms of competition from advertisements to politics to sports. Two main objectives have been proposed for this game in the literature: (i) maximizing the guaranteed expected payoff, and (ii) maximizing the probability of obtaining a minimum payoff $u$. The former corresponds to the conventional utility maximization and the latter concerns scenarios such as elections where the candidates' goal is to maximize the probability of getting at least half of the votes (rather than the expected number of votes). In this paper, we consider both of these objectives and show how it is possible to obtain (almost) optimal solutions that have few strategies in their support. One of the main technical challenges in obtaining bounded support strategies for the Colonel Blotto game is that the solution space becomes non-convex. This prevents us from using convex programming techniques in finding optimal strategies which are essentially the main tools that are used in the literature. However, we show through a set of structural results that the solution space can, interestingly, be partitioned into polynomially many disjoint convex polytopes that can be considered independently. Coupled with a number of other combinatorial observations, this leads to polynomial time approximation schemes for both of the aforementioned objectives.

研究动机与目标

• 開發高效演算法以計算科隆內爾布洛托遊戲中近最佳策略，解決解空間非凸性之挑戰。
• 針對最大最小期望報酬與 (u,p)-最大最小策略（其中 p 為達成最低效用 u 的機率）提供多項式時間近似方案（PTAS）。
• 解決廣義科隆內爾布洛托遊戲之計算複雜度，證明其為指數時間完全問題。
• 透過縮小支援大小並保留近似最佳性，使均衡策略得以實際部署。

提出的方法

• 將科隆內爾布洛托遊戲的非凸解空間劃分為多項式多個互不相交的凸多面體，以啟用凸優化技術。
• 利用組合結構與戰略約束，限制最佳策略中的支援大小。
• 透過改良版的 Adler 零和博弈歸約，將簡約線性不等式問題歸約至一般科隆內爾布洛托遊戲。
• 將可行的部隊配置編碼為具有互補分配的戰場子集，以確保與報酬矩陣元素的一一對應。
• 定義一效用函數，對不可行配置施加懲罰，並將可行配置映射至斜對稱報酬矩陣的元素。
• 利用一般科隆內爾布洛托遊戲的最大小值與所構造報酬矩陣最大小值之間的等價性，證明完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 儘管解空間具有非凸性，是否仍可計算科隆內爾布洛托遊戲中的最佳策略，且支援大小有界？
• RQ2 是否能為最大最小期望報酬與 (u,p)-最大最小目標設計多項式時間近似方案？
• RQ3 在科隆內爾布洛托遊戲的一般化版本中，尋找最大小值的計算複雜度為何？
• RQ4 是否可將科隆內爾布洛托遊戲的解空間分解為可管理的凸組分，以實現高效優化？
• RQ5 從簡約線性不等式到一般科隆內爾布洛托遊戲的歸約是否保持最大小值結果，並確立完全性？

主要发现

• 科隆內爾布洛托遊戲的解空間可被劃分為多項式多個互不相交的凸多面體，即使整體為非凸，仍可啟用凸優化技術。
• 本文首次提出針對科隆內爾布洛托遊戲中最大最小期望報酬與 (u,p)-最大最小目標的多項式時間近似方案（PTAS）。
• 透過從簡約電路值問題經簡約線性不等式與 Adler 的零和博弈構造，證明一般科隆內爾布洛托遊戲為指數時間完全問題。
• 遊戲中的可行配置被編碼為具有互補部隊分配的戰場子集，確保與報酬矩陣列與行之間的一一對應。
• 不可行配置被證明為被支配，可安全地從考慮中剔除而不影響遊戲的最大小值結果。
• 一般科隆內爾布洛托遊戲的最大小值等價於所構造斜對稱報酬矩陣的最大小值，且最大小值策略的最後一項非零，當且僅當原系統有解。