[论文解读] Optimal Superconvergence Analysis for the Crouzeix-Raviart and the Morley elements

Jun Hu, Limin Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过引入与混合有限元（Raviart–Thomas 和 Hellan–Herrmann–Johnson）相关的典范插值与有限元解之间差值的离散Helmholtz分解，对Crouzeix-Raviart和Morley有限元进行了最优超收敛分析。该方法在均匀及弱结构化网格上实现了完整的超收敛阶结果，弥合了先前半阶估计与实际数值表现之间的差距。

ABSTRACT

In this paper, an improved superconvergence analysis is presented for both the Crouzeix-Raviart element and the Morley element. The main idea of the analysis is to employ a discrete Helmholtz decomposition of the difference between the canonical interpolation and the finite element solution for the first order mixed Raviart--Thomas element and the mixed Hellan--Herrmann--Johnson element, respectively. This, in particular, allows for proving a full one order superconvergence result for these two mixed finite elements. Finally, a full one order superconvergence result of both the Crouzeix-Raviart element and the Morley element follows from their special relations with the first order mixed Raviart--Thomas element and the mixed Hellan--Herrmann--Johnson element respectively. Those superconvergence results are also extended to mildly-structured meshes.

研究动机与目标

• 弥合数值试验中观察到的完整一阶超收敛与先前非协调有限元理论估计中半阶结果之间的差距。
• 发展一种新型超收敛分析技术，克服现有基于Sobolev空间的边界项估计方法的局限性。
• 将最优超收敛结果推广至弱结构化的(α,σ)-网格，放宽准均匀性假设。
• 为Crouzeix-Raviart和Morley单元所观察到的超收敛行为建立严格的理论基础。
• 通过在均匀、分片均匀及Delaunay网格上的数值实验，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 对一阶Raviart–Thomas和Hellan–Herrmann–Johnson混合有限元中，典范插值与有限元解之间误差的离散Helmholtz分解进行应用。
• 利用该分解实现关键误差估计中共享同一顶点的边界项之间的抵消。
• 将改进的分析方法应用于混合元，从而通过其已知的等价关系，推导出非协调Crouzeix-Raviart和Morley元的最优超收敛结果。
• 通过假设所有单元K满足|ln h_K| ≈ |ln h|，将结果推广至弱结构化的(α,σ)-网格，该条件弱于准均匀性。
• 避免使用先前工作中依赖的变分误差展开，从而提升方法的适用范围，并更简便地推广至非均匀网格。
• 通过在Morley元的板弯曲问题中，对均匀、分片均匀及Delaunay网格进行数值测试，验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否严格证明Crouzeix-Raviart和Morley元在均匀网格上实现完整的超收敛阶结果，从而解决与先前半阶估计之间的差异？
• RQ2 混合有限元方法中边界项的分析能否超越现有基于Sobolev空间的估计方法，而后者已被证明无法进一步改进？
• RQ3 离散Helmholtz分解技术是否足以在边界项中实现充分抵消，从而实现最优超收敛？
• RQ4 在不依赖完全准均匀性条件的前提下，超收敛结果能否推广至弱结构化的(α,σ)-网格？
• RQ5 理论超收敛率在不同网格类型（包括Delaunay和分片均匀网格）上的数值结果如何比较？

主要发现

• 在均匀网格上，Crouzeix-Raviart和Morley元的完整一阶超收敛结果得到严格证明，解决了先前半阶估计的差距。
• 改进的分析方法在Raviart–Thomas和Hellan–Herrmann–Johnson混合有限元中实现了最优收敛阶h^{1+ρ}，优于先前的半阶结果。
• 离散Helmholtz分解实现了边界项的关键抵消，这是实现最优超收敛的关键。
• 在条件|ln h_K| ≈ |ln h|下，超收敛结果可推广至弱结构化的(α,σ)-网格，该条件弱于准均匀性。
• 数值测试验证了理论速率：在均匀网格上，Morley元的后处理误差收敛阶为2.04，接近最优阶2。
• 在分片均匀和Delaunay网格上，插值误差保持最优（约1.9阶），但后处理误差为次优（约1.6阶），表明后处理对网格结构较为敏感。