[论文解读] Optimal Switching at Poisson Random Intervention Times

Gechun Liang, Wei Wei|Research Portal (King's College London)|Sep 22, 2013

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的最优切换问题，其中干预发生在随机的泊松到达时间，以建模外生约束或信息延迟。通过无限时域的倒向随机微分方程（BSDE）系统刻画了值函数和最优切换策略，在马氏设定下证明了值函数的利普希茨连续性，并利用比较原理建立了切换区域的结构。

ABSTRACT

This paper introduces a new class of optimal switching problems, where the player is allowed to switch at a sequence of exogenous Poisson arrival times, and the underlying switching system is governed by an infinite horizon backward stochastic differential equation system. The value function and the optimal switching strategy are characterized by the solution of the underlying switching system. In a Markovian setting, the paper gives a complete description of the structure of switching regions by means of the comparison principle.

研究动机与目标

• 建模在外部泊松干预时间下的最优切换，反映流动性和信息约束。
• 将现有在泊松时间点的最优停止框架扩展至更广泛的最优切换情境。
• 通过无限时域BSDE系统刻画值函数和最优切换策略。
• 在马氏设定下，利用比较原理建立切换区域的结构。
• 将先前关于泊松时间点最优停止的结果推广至多状态切换问题。

提出的方法

• 使用无限时域倒向随机微分方程（BSDE）系统建模切换系统。
• 在由泊松过程生成的随机时间点施加切换约束，以表示外生的干预机会。
• 在马氏情形下应用比较原理，分析切换区域的结构。
• 采用无限时域BSDE系统的惩罚版本，推导解的存在性与唯一性。
• 通过预期收益和切换成本的先验估计，建立值函数的线性增长性和利普希茨连续性。
• 在有限区间上运用常微分方程比较技术，证明值函数的次解和超解性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当切换被限制在泊松到达时间而非任意停止时间时，值函数的行为如何？
• RQ2 在泊松干预约束下，马氏设定中的切换区域具有何种结构？
• RQ3 在这些约束下，值函数能否通过无限时域BSDE系统来刻画？
• RQ4 比较原理如何帮助确定该框架下的最优切换策略？
• RQ5 在该模型下，值函数的正则性性质（如利普希茨连续性）是什么？

主要发现

• 值函数是利普希茨连续的，其利普希茨常数有界于 $ \frac{C}{a_1 - b} $，其中 $ C $ 是收益函数的利普希茨常数，且 $ a_1 > b $。
• 值函数表现出至多线性增长，其上界为 $ \frac{Cx}{a_1 - b} + \max_{j=1,2}[-g^{ij}] $，其中 $ x $ 为初始状态。
• 通过在有限区间上应用比较原理，证明了值函数的次解性质，从而得到 $ \underline{v}^i(x^0) \leq 0 $ 对所有 $ x^0 \in (0,\infty) $ 成立。
• 最优切换策略由底层无限时域BSDE系统解所刻画。
• 在马氏情形下，通过将比较原理应用于相关ODE系统，完全描述了切换区域的结构。
• 该模型将先前关于泊松时间点最优停止的研究结果推广至完整的最优切换问题，包括多状态和可逆投资情形。