[论文解读] Optimal Trading with Linear and (small) Non-Linear Costs

Adam Rej, Raphael Benichou+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种匹配渐近展开方法，用于求解同时包含线性成本和小的二次（市场影响）成本的最优交易问题。结果表明，市场影响使无交易区域的宽度缩小，其缩放量级为影响参数的立方根，并识别出四种不同的交易制度：无交易区域缩小、线性速度衰减的窄边界层、中间平方根区域以及外层线性区域，所有结果均与数值模拟一致，且可推广至非二次成本形式。

ABSTRACT

We reconsider the problem of optimal trading in the presence of linear and quadratic costs, for arbitrary linear costs but in the limit where quadratic costs are small. Using matched asymptotic expansion techniques, we find that the trading speed vanishes inside a band that is narrower than in the absence of quadratic costs, by an amount that scales as the one-third power of quadratic costs. Outside of the band, we find three regimes: a small boundary layer where the velocity vanishes linearly with the distance to the band, an intermediate region where the velocity behaves as a square-root of that distance, and a far region where it becomes linear. Our solution is consistent with available numerical results. We determine the conditions in which our expansion is useful in practical applications, and generalize our solution to other forms of non-linear costs.

研究动机与目标

• 确定在同时存在线性交易成本和小的二次市场影响成本时的最优交易策略。
• 解决在混合成本结构下最优执行的开放问题，特别是当二次成本较小时的情形。
• 将已知的纯线性成本解（无交易带）扩展至包含小市场影响效应的情形。
• 提供一种系统性的渐近框架，适用于除二次形式外的一般非线性成本函数。

提出的方法

• 采用匹配渐近展开法，在市场影响较小（η → 0）的极限下分析最优交易问题，将线性成本视为主导项。
• 在四个不同区域求解：中心无交易带、窄边界层、中间平方根区域以及外层线性区域。
• 应用边界层理论以正则化在无交易带边缘附近交易速度的平方根奇点。
• 通过在已知 Γ > 0、η = 0 解的基础上展开，求解价值函数的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。
• 利用Merton-Sato最优性条件，确保价值函数在各区域之间的连续性与光滑性。
• 将该方法推广至其他非线性成本函数，包括经验观测到的 Q^{3/2} 市场影响定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 与纯线性成本情形相比，引入小的二次市场影响成本如何改变最优交易策略？
• RQ2 由于市场影响，无交易区域宽度的缩放关系如何？
• RQ3 在无交易带附近，交易速度的行为特征如何，特别是在边界层和中间区域？
• RQ4 该渐近解能否推广至如 Q^{3/2} 市场影响等非二次成本函数？
• RQ5 在实际交易应用中，渐近展开的有效性和实用性需满足哪些条件？

主要发现

• 由于市场影响，无交易区域的宽度缩小量级为 η^{1/3}，其中 η 为二次成本参数。
• 在无交易带周围形成一个宽度为 η^{1/3} 的窄边界层，其中交易速度随与带边距离线性衰减。
• 在中间区域，交易速度与到带边距离的平方根成正比，从而正则化了纯线性成本解中出现的奇点。
• 远离带边区域，交易速度随距离线性变化，恢复了 Γ > 0、η = 0 时的精确解。
• 价值函数在边界处的三阶导数为正，证实了解的稳定性及渐近匹配的正确性。
• 通过适当的缩放与匹配技术，该方法可推广至其他非线性成本函数，包括经验观测到的 Q^{3/2} 市场影响定律。