[论文解读] Optimal Transport for Seismic Full Waveform Inversion

Björn Engquist, Brittany D. Froese+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 14被引用 15

一句话总结

本文提出在地震全波形反演（FWI）中使用最优传输理论导出的Wasserstein度量作为残差度量，取代传统的L2范数。通过利用Monge-Ampère方程计算Wasserstein距离并推导其Fréchet梯度，该方法实现了更高的凸性与抗噪鲁棒性，进而在一维、二维、六参数与十二参数速度模型的数值测试中实现稳定收敛，参数误差低于1%，残差值较低。

ABSTRACT

Full waveform inversion is a successful procedure for determining properties of the earth from surface measurements in seismology. This inverse problem is solved by a PDE constrained optimization where unknown coefficients in a computed wavefield are adjusted to minimize the mismatch with the measured data. We propose using the Wasserstein metric, which is related to optimal transport, for measuring this mismatch. Several advantageous properties are proved with regards to convexity of the objective function and robustness with respect to noise. The Wasserstein metric is computed by solving a Monge-Ampere equation. We describe an algorithm for computing its Frechet gradient for use in the optimization. Numerical examples are given.

研究动机与目标

• 解决传统基于L2的残差函数在全波形反演（FWI）中非凸性与对噪声敏感的问题。
• 从理论上和数值上建立Wasserstein度量相较于L2在凸性与抗噪性方面的优势。
• 推导Wasserstein距离关于模型参数的Fréchet梯度，以用于基于梯度的优化。
• 通过数值实验展示Wasserstein度量在从含噪地震数据中恢复真实速度模型方面的有效性。

提出的方法

• 使用Wasserstein度量W₂²作为残差函数，通过将归一化为单位质量的地震波场正负部分之间的最优传输计算得到。
• 通过求解Monge-Ampère方程det(D²u) = f(x)/g(∇u(x)) + ⟨u⟩（其中u为凸函数）来计算最优传输映射。
• Wasserstein距离通过W₂²(f,g) = ∫|x − ∇u(x)|²f(x)dx计算，实现高效的数值计算。
• 利用伴随法与Monge-Ampère方程的解，解析推导出残差关于速度模型的Fréchet梯度。
• 正演问题通过二维全声波方程求解，初始源函数为Ricker子波。
• 采用基于梯度的优化算法，在多个合成模型上最小化基于Wasserstein的目标准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时间偏移情况下，Wasserstein度量是否在地震FWI中产生比L2更优的凸性目标函数？
• RQ2 在存在噪声的情况下，Wasserstein度量相较于L2范数表现如何？
• RQ3 Wasserstein距离的Fréchet梯度能否高效计算并用于全波形反演？
• RQ4 该方法在多层与分段常数速度结构中恢复真实速度模型的能力如何？
• RQ5 在高维参数空间中，该方法的收敛行为与精度如何？

主要发现

• 在一维模型中，Wasserstein度量对时间偏移表现出一致的凸性，而L2范数则出现多个局部极小值。
• 在两层模型中，经过33次迭代后，方法以2.06×10⁻⁵的平方残差恢复了真实参数，速度与深度误差约为1%。
• 在六参数速度模型中，经过72次迭代后，平方残差降至3.94×10⁻⁶，所有恢复速度值与真实值偏差均在1%以内。
• 在十二参数模型中，恢复速度的最大误差为0.0091，平方残差为2.10×10⁻⁶，表明即使在高维情况下仍具有高精度。
• 收敛历史显示残差稳定且单调下降，表明方法具有鲁棒性，适合基于梯度的优化。
• Wasserstein度量对含噪目标的残差为3.16×10⁻⁶，接近恢复值，表明参数误差主要源于数据噪声而非算法限制。