[论文解读] Optimal transport in Lorentzian synthetic spaces, synthetic timelike Ricci curvature lower bounds and applications

Fabio Cavalletti, Andrea Mondino|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 13

一句话总结

本文通过最优传输方法，在洛伦兹预长度空间中建立了时间类 Ricci 曲率下确界值的合成理论，引入了 $\tau$CD$^e$ 和 $\tau$MCP$^e$ 条件。证明了在测度洛伦兹预长度空间的弱收敛下该理论的稳定性，并将该框架应用于将体积比较和霍金奇点定理推广至低正则性时空，包括 $C^0$ 度量和奇异模型。

ABSTRACT

The goal of the present work is three-fold. The first goal is to set foundational results on optimal transport in Lorentzian (pre-)length spaces, including cyclical monotonicity, stability of optimal couplings and Kantorovich duality (several results are new even for smooth Lorentzian manifolds). The second one is to give a synthetic notion of ``timelike Ricci curvature bounded below and dimension bounded above'' for a measured Lorentzian pre-length space using optimal transport. The key idea being to analyse convexity properties of Entropy functionals along future directed timelike geodesics of probability measures. This notion is proved to be stable under a suitable weak convergence of measured Lorentzian pre-length spaces, giving a glimpse on the strength of the approach we propose. The third goal is to draw applications, most notably extending volume comparisons and Hawking singularity Theorem (in sharp form) to the synthetic setting. The framework of Lorentzian pre-length spaces includes as remarkable classes of examples: space-times endowed with a causally plain (or, more strongly, locally Lipschitz) continuous Lorentzian metric, closed cone structures, some approaches to quantum gravity.

研究动机与目标

• 在洛伦兹合成空间中发展基础最优传输理论，包括循环单调性和康托罗维奇对偶性。
• 通过沿时间类测地线的熵凸性，引入‘时间类 Ricci 曲率有下界且维度有上界’的合成概念。
• 证明合成曲率条件在测度洛伦兹预长度空间弱收敛下的稳定性。
• 将经典结果如体积比较和霍金奇点定理推广至合成的、非光滑情形。
• 将该框架应用于具有 $C^0$ 度量、锥结构以及量子引力模型的时空。

提出的方法

• 使用 $\ell_p$-最优传输和动力计划，在洛伦兹预长度空间中形式化最优传输。
• 通过概率测度沿未来指向时间类测地线的熵泛函凸性，定义合成时间类 Ricci 曲率界限。
• 引入 $\mathsf{TCD}^e_p(K,N)$ 和 $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 条件，作为 Ricci 曲率和测度收缩性质的合成类比。
• 利用时间分离函数 $\tau_x$ 上测度的分解，实现曲率条件的局部化并分析条件测度。
• 应用格罗莫夫引理和面积函数 $A_x(r,v)$ 的渐近分析，将局部几何与曲率界限关联。
• 建立 $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 与涉及 $\mathfrak{s}_{K/(N-1)}$ 函数的广义测度收缩不等式之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优传输理论能否在洛伦兹合成空间中被推广，包括循环单调性和对偶性，即使在缺乏光滑性的情况下？
• RQ2 如何在非光滑洛伦兹空间中利用最优传输方法，定义‘时间类 Ricci 曲率有下界’的合成概念？
• RQ3 所提出的合成曲率条件在测度洛伦兹预长度空间弱收敛下是否稳定？
• RQ4 体积比较和霍金奇点定理能否被推广至具有 $C^0$ 度量或低正则性几何的时空？
• RQ5 合成 $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 条件与光滑时空上经典 Ricci 曲率界限 $\mathrm{Ric}_g(v,v) \geq -K g(v,v)$ 之间有何关系？

主要发现

• 当 $N \geq n$ 时，$\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 条件蕴含光滑时空中 $\mathrm{Ric}_g(v,v) \geq -K g(v,v)$，且在 $N \to n$ 的极限下取等。
• 对任意 $N > 1$，若全局双曲时空满足 $\mathrm{Ric}_g \geq 0$，维度 $\leq N-1$，且 $\tau$-直径 $\leq L$，则对所有 $K \leq c_N / L^2$（$c_N > 0$）有 $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$。
• $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 条件严格弱于 $\mathsf{wTCD}^e_p(K,N)$，如存在满足 $\mathsf{TMCP}^e(0,N-1)$ 但不满足 $\mathsf{wTCD}^e_p(0,N)$ 的时空所示。
• 熵泛函沿概率测度的时间类测地线的凸性，刻画了合成时间类 Ricci 曲率下确界。
• $\mathsf{TCD}^e_p(K,N)$ 和 $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 条件在测度洛伦兹预长度空间的弱收敛下保持稳定。
• 霍金奇点定理在合成框架中成立：若 $\mathsf{TMCP}^e(K,N)$ 且 $K > 0$，则时空不可再延拓。