[论文解读] OPTIMAL TRANSPORT WITH COULOMB COST AND THE SEMICLASSICAL LIMIT OF DENSITY FUNCTIONAL THEORY

Ugo Bindini, Luigi De Pascale|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本论文通过证明在普朗克常数 ℏ → 0 的极限下，密度泛函理论（DFT）中库仑系统的霍恩伯格-科恩通用泛函的半经典极限收敛于具有库仑代价的多边缘最优传输问题，从而建立了该泛函的半经典极限。对于任意粒子数的任意玻色子系统以及两体或三体费米子系统，该极限被严格证明为最优传输代价 C(ρ)，方法包括 Γ-收敛性分析与新型波函数构造，后者在动能和粒子相关性方面实现了所需的渐近行为。

ABSTRACT

We present some progress in the direction of determining the semiclassical limit of the Hoenberg-Kohn universal functional in Density Functional Theory for Coulomb systems. In particular we give a proof of the fact that for Bosonic systems with an arbitrary number of particles the limit is the multimarginal optimal transport problem with Coulomb cost and that the same holds for Fermionic systems with 2 or 3 particles. Comparisons with previous results are reported . The approach is based on some techniques from the optimal transportation theory.

研究动机与目标

• 确定库仑系统在密度泛函理论中霍恩伯格-科恩通用泛函的半经典极限。
• 在多体量子力学与具有库仑代价的多边缘最优传输之间建立严格的联系。
• 通过最优传输技术提供一种直接证明，简化先前的方法。
• 构造显式的玻色子与费米子波函数族，使其在 ℏ → 0 极限下实现最优传输代价。
• 证明对于对称与反对称波函数，量子能量泛函均 Γ-收敛于最优传输代价泛函 C(ρ)。

提出的方法

• 以 Γ-收敛性作为主要分析工具，研究量子能量泛函在 ℏ → 0 极限下的行为。
• 应用对偶理论与蒙日-安托尼奥维奇问题的性质，刻画 N 体系统下最优传输代价 C(ρ)。
• 构造显式、归一化的波函数（ψℏ），其在位置空间的密度收敛于给定的 ρ ∈ H，且具有对称性（玻色子）或反对称性（费米子）。
• 采用以 ε(ℏ) = √ℏ 参数化的波函数族，其空间局域化与相位结构被设计为最小化动能，同时保持电子相关性。
• 利用梯度估计与 Lp 范数控制，确保动能项 Tℏ(ψℏ) → 0 当 ℏ → 0。
• 证明电子-电子相互作用能 Vee(ψℏ) 收敛于关联传输计划 P 的最优传输代价 CS(P)。

实验结果

研究问题

• RQ1 库仑系统在密度泛函理论中霍恩伯格-科恩泛函的半经典极限是否收敛于具有库仑代价的多边缘最优传输问题？
• RQ2 该收敛性是否可同时在玻色子与费米子系统中建立，特别是对于 N = 2 与 N = 3 的费米子？
• RQ3 波函数构造在 ℏ → 0 极限下实现最优传输代价的过程中起到何种作用？
• RQ4 Γ-收敛性如何被用于严格连接量子多体能量泛函与最优传输代价？
• RQ5 能否控制近似波函数的动能，以确保其在半经典极限下收敛于零？

主要发现

• 对于所有 ρ ∈ H 及任意 N ∈ ℕ，玻色子泛函 F^S_ℏ(ρ) 在 ℏ → 0 时 Γ-收敛于 C(ρ)。
• 在 d = 1, 2, 3, 4 且 N = 2, 3 的条件下，费米子泛函 F^A_ℏ(ρ) 在 ℏ → 0 时 Γ-收敛于 C(ρ)。
• 所构造波函数 ψℏ 的动能 Tℏ(ψℏ) 随 ℏ → 0 趋近于零，且其显式界涉及 ∥√ρ∥_{H^1} 与 ℏ。
• 电子-电子相互作用能 Vee(ψℏ) 收敛于关联传输计划 P 的最优传输代价 CS(P)。
• 波函数构造实现了所需的渐近行为：|ψℏ|² → P，且 ∇ψℏ 受控，使得 Tℏ(ψℏ) → 0。
• 证明建立了等 coercivity 性质及 Γ-liminf/Γ-limsup 不等式，完整完成了玻色子与费米子情形下的 Γ-收敛性证明。