[论文解读] Optimal Transportation in the presence of a prescribed pressure field

Gershon Wolansky|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文在给定压力场下，建立了测度保持映射最优流的存在性与唯一性，将Monge-Kantorovich框架扩展至包含二次动能和势能（压力）项的机械拉格朗日量。关键贡献在于证明了扩展拉格朗日问题存在唯一解，且其与对偶欧拉形式等价，即使由于压力场导致代价函数非齐次。

ABSTRACT

The optimal (Monge-Kantorovich) transportation problem is discussed from several points of view. The Lagrangian formulation extends the action of the {\em Lagrangian} $L(v,x,t)$ from the set of orbits in $\R^n$ to a set of measure-valued orbits. The {\em Eulerian}, dual formulation leads an optimization problem on the set of sub-solutions of the corresponding Hamilton-Jacobi equation. Finally, the Monge problem and its Kantorovich relaxation are obtained by reducing the optimization problem to the set of measure preserving mappings and two point distribution measures subjected to an appropriately defined cost function. In this paper we concentrate on mechanical Lagrangians $L=|v|^2/2+P(x,t)$ leading, in general, to a non-homogeneous cost function. The main results yield existence of a unique {\em flow} of homomorphisms which transport the optimal measure valued orbit of the extended Lagrangian, as well as the existence of an optimal solution to the dual Euler problem and its relation to the Monge- and Kantorovich formulations.

研究动机与目标

• 将经典的Monge-Kantorovich最优传输问题扩展至包含给定压力场，以模拟半经典Schrödinger方程等物理系统。
• 在松弛的测度取值设定下表述最优传输问题，将经典轨道推广为时间上的概率测度。
• 建立在扩展拉格朗日作用下，将测度取值轨道进行传输的唯一最优同态流的存在性。
• 将扩展拉格朗日形式与对偶欧拉问题联系起来，并证明其在非齐次代价函数下与Monge-Kantorovich松弛形式的等价性。

提出的方法

• 通过在测度取值轨道上定义扩展拉格朗日作用来表述最优传输问题，将经典轨迹推广为时间上的概率测度。
• 采用形式为 $ L = \frac{1}{2}|v|^2 + P(x,t) $ 的机械拉格朗日量，其中 $ P(x,t) $ 为给定的压力场，导致代价函数非齐次。
• 将对偶欧拉形式导出为带有势能项的哈密顿-雅可比方程次解的优化问题。
• 应用紧致性与对偶性论证，证明在松弛的Kantorovich表述中最小化器的存在性。
• 通过径向密度与速度场构造测试流，以验证弱连续性与作用量有界性。
• 使用Hölder与Sobolev型估计，控制近似方案中密度与速度场的 $ L^p $-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代价函数因给定压力场而非齐次时，最优传输流是否存在？
• RQ2 Monge-Kantorovich松弛是否可扩展至包含势能项的机械拉格朗日量，且是否产生唯一解？
• RQ3 扩展拉格朗日形式与涉及带势能项的哈密顿-雅可比方程次解的对偶欧拉问题之间是否存在对偶性？
• RQ4 压力场的存在如何影响松弛设定下最优传输映射的存在性与正则性？
• RQ5 在存在非平凡压力场时，最优解是否可表征为凸函数的梯度？

主要发现

• 即使由于压力场导致代价函数非齐次，仍存在唯一最优同态流，可将扩展拉格朗日的测度取值轨道进行传输。
• 对偶欧拉问题存在最小化器，且该最小化器被证明与Monge-Kantorovich松弛的最优解等价。
• 对偶问题的最优解被表征为带势能项 $ P(x,t) $ 的哈密顿-雅可比方程的次解，且对偶间隙消失。
• 当 $ p < 1 + \frac{1}{n} $ 时，使用 $ L^p $-有界密度与速度场的近似方案，可产生具有受控作用量与质量传输的测试流收敛序列。
• 近似中尺度参数的最优选择导致误差的精确上界，收敛速率取决于压力场梯度的 $ L^s $-范数。
• 通过扩展拉格朗日框架，建立了半经典哈密顿-雅可比方程两点边值问题（给定初态与末态密度）解的存在性。