[论文解读] Optimal transportation on non-compact manifolds

Albert Fathi, Alessio Figalli|ArXiv.org|Nov 28, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文在源测度和目标测度满足最小可积性条件的前提下，于完备非紧致黎曼流形上，针对由托内利拉格朗日量导出的代价函数（特别是 $d^r$，其中 $r > 1$），建立了最优传输映射的存在性与唯一性。该研究将经典紧致流形上的结果推广至非紧致情形，且无需曲率限制，运用了最优传输与拉格朗日动力学的技术。

ABSTRACT

In this work, we show how to obtain for non-compact manifolds the results that have already been done for Monge Transport Problem for costs coming from Tonelli Lagrangians on compact manifolds. In particular, the already known results for a cost of the type $d^r,r>1$, where $d$ is the Riemannian distance of a complete Riemannian manifold, hold without any curvature restriction.

研究动机与目标

• 将 $d^r$ 代价的最优传输理论从紧致流形推广至非紧致黎曼流形。
• 在完备非紧致流形上，为托内利拉格朗日量代价建立最优传输映射的存在性与唯一性。
• 消除以往限制此类结果的曲率与紧致性假设。
• 将安布罗西奥-吉利-萨瓦雷以及伯纳德-布方的技巧适配至非紧致设定。
• 证明在测度满足最小矩条件时，传输映射几乎处处由 $\mu$ 唯一确定。

提出的方法

• 利用弱托内利拉格朗日量及其相关哈密顿-雅可比方程的理论。
• 应用扭转条件与极小化曲线唯一性（UC）以确保传输代价梯度的单射性。
• 采用测地线流与欧拉-拉格朗日流来刻画极小化曲线。
• 使用霍尔德不等式将 $L^r$-能量与黎曼距离关联，证明 $c_{t,L_{r,g}} = t^{r-1}d_g^r$。
• 应用左右扭转条件，证明传输映射由代价梯度唯一确定。
• 依赖于次凸函数与最优传输中值函数的正则性理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非紧致黎曼流形上为 $d^r$ 代价建立最优传输映射的存在性与唯一性？
• RQ2 缺乏曲率或紧致性假设是否会使紧致情形下的标准结果失效？
• RQ3 能否通过拉格朗日动力学将扭转条件与极小化曲线唯一性推广至非紧致流形？
• RQ4 源测度与目标测度需满足何种矩条件，才能确保最优传输映射的存在？
• RQ5 代价函数 $c_{t,L_{r,g}} = t^{r-1}d_g^r$ 的结构如何与测地线流及传输正则性相关联？

主要发现

• 对于任意连通完备黎曼流形 $M$ 及 $r > 1$，若源测度与目标测度关于某基点具有有限 $r$-阶矩，则 $d^r$ 代价下存在最优传输映射。
• 即使在非紧致流形上，最优传输映射也几乎处处由 $\mu$ 唯一确定。
• 拉格朗日量 $L_{r,g}(x,v) = \|v\|_x^r$ 对应的代价 $c_{t,L_{r,g}}$ 等于 $t^{r-1}d_g^r(x,y)$，从而将 $L^r$-能量与黎曼距离联系起来。
• 传输映射源自测地线流，且初始速度由代价梯度唯一确定。
• 代价 $c_{t,L_{r,g}}$ 满足扭转条件，确保传输映射处处几乎处处定义良好且单射。
• 结果在流形无任何曲率假设下成立，将先前仅适用于紧致流形的结果推广至非紧致情形。