[论文解读] Optimal Z-complementary Code Set From Generalized Reed-Muller Codes

Palash Sarkar, Sudhan Majhi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

PAPR reduction in OFDM参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文提出了一种利用二阶广义Reed-Muller码通过新型图形表示法的直接构造方法，生成最优Z-互补码集合（ZCCS）。通过将码建模为可删除顶点和孤立节点的图，该方法生成大小为 $2^{k+p+1}$ 的ZCCS，其零相关区（ZCZ）宽度达到最优，实现了集合大小的理论上限，同时通过孤立节点的数量灵活控制ZCZ宽度。

ABSTRACT

Z-complementary code set (ZCCS), an extension of perfect complementary codes (CCs), refers to a set of two-dimensional matrices having zero correlation zone properties. ZCCS can be used in various multi-channel systems to support, for example, quasi-synchronous interference-free multicarrier code-division multiple access communication and optimal channel estimation in multiple-input multiple-output systems. Traditional constructions of ZCCS heavily rely on a series of sequence operations which may not be feasible for rapid hardware generation particularly for long ZCCSs. In this paper, we propose a direct construction of ZCCS using second-order Reed-Muller codes with efficient graphical representation. Our proposed construction, valid for any number of isolated vertices present in the graph, is capable of generating optimal ZCCS meeting the set size upper bound.

研究动机与目标

• 解决传统ZCCS构造方法依赖复杂序列操作、不适合硬件实现的局限性。
• 开发一种直接、系统化的最优ZCCS生成方法，实现最大集合大小与可调ZCZ宽度。
• 通过码结构的图形表示，建立广义Reed-Muller码与ZCCS之间的联系。
• 通过在图模型中引入孤立节点，推广现有互补码构造方法，以提升ZCCS的灵活性与规模。

提出的方法

• 构造以 $q$-元广义Reed-Muller码的二阶陪集为基础生成码。
• 引入基于图的表示方法，其中 $m$ 个顶点表示变量，删除 $k$ 个顶点后，图被简化为 $m-k-p$ 个顶点的路径和 $p$ 个孤立节点。
• 将路径顶点分配权重 $q/2$，以确保生成码集合的ZCZ特性。
• 生成两组码：一组来自原始图，另一组来自第一组的反转与共轭版本。
• 这两组码的并集构成大小为 $2^{k+p+1}$ 的ZCCS，达到集合大小的理论上限。
• 该方法利用广义布尔函数（GBFs）参数化码构造，其中二次型用于定义码序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖迭代序列操作的前提下，利用广义Reed-Muller码实现最优ZCCS的直接构造？
• RQ2 在基于图的码表示中，孤立节点的数量如何影响所生成ZCCS的ZCZ宽度与集合大小？
• RQ3 从二阶广义Reed-Muller码构造的ZCCS，其最大可实现集合大小是多少？是否能达到理论上限？
• RQ4 当 $p=0$ 时，所提出的方法如何推广现有构造方法（如Rathinakumar-Chaturvedi CCC）？

主要发现

• 所提构造方法实现了ZCCS集合大小的理论上限，生成 $2^{k+p+1}$ 个最优码。
• ZCZ宽度通过孤立节点数 $p$ 直接控制，实现针对不同系统需求的灵活设计。
• 当 $p=0$ 时，构造退化为Rathinakumar-Chaturvedi完全互补码（CCC），证实其为特例。
• 该方法根据图参数的选择，可生成至少 $\frac{(m-p)!}{2(k!)}(q-1)^{k(m-k-p)}q^{kp+\frac{k(k-1)}{2}+m+1}$ 个不同的最优ZCCS。
• 两组构造码之间的互相关函数在所有位置均为零，证实整个码集合具备ZCZ特性。
• 由于其基于广义布尔函数和图结构的直接代数公式化，该构造方法具有硬件友好性，避免了复杂的序列操作。