[论文解读] Optimally (Distributional-)Robust Kalman Filtering

Peter Ruckdeschel|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文研究了在分布不确定性下的最优鲁棒卡尔曼滤波，将系统内生与观测外生异常值的最小最大均方误差（MSE）问题形式化。推导出闭式鞍点解，实现跟踪性能与异常值抑制之间的平衡；当理想条件数学期望在创新项中为线性时，可导出计算简单的rLS滤波器，从而对这一线性条件提供了出人意料的表征。

ABSTRACT

We present optimality results for robust Kalman filtering where robustness is understood in a distributional sense, i.e.; we enlarge the distribution assumptions made in the ideal model by suitable neighborhoods. This allows for outliers which in our context may be system-endogenous or -exogenous, which induces the somewhat conflicting goals of tracking and attenuation. The corresponding minimax MSE-problems are solved for both types of outliers separately, resulting in closed-form saddle-points which consist of an optimally-robust procedure and a corresponding least favorable outlier situation. The results are valid in a surprisingly general setup of state space models, which is not limited to a Euclidean or time-discrete framework. The solution however involves computation of conditional means in the ideal model, which may pose computational problems. In the particular situation that the ideal conditional mean is linear in the observation innovation, we come up with a straight-forward Huberization, the rLS filter, which is very easy to compute. For this linearity we obtain an again surprising characterization.

研究动机与目标

• 开发一种最小最大鲁棒卡尔曼滤波框架，以在分布不确定性下同时考虑系统内生与观测外生异常值。
• 在一般状态空间模型框架下求解相应的最小最大均方误差（MSE）问题，扩展至欧几里得空间与离散时间框架之外。
• 识别最优鲁棒滤波器简化为Huber型估计器的条件，从而实现高效计算。
• 对理想条件数学期望在创新项中为线性的条件提供表征，揭示该性质的全新测试方法。

提出的方法

• 在理想高斯状态空间模型周围构建分布邻域，以建模异常值带来的污染。
• 通过鞍点分析求解最小最大MSE问题，得到鲁棒滤波器及其对应的最不利分布。
• 当理想条件数学期望在创新项中为线性时，引入rLS滤波器作为卡尔曼滤波的直接Huber化形式。
• 推导rLS滤波器达到最优性的条件，利用创新空间中线性的出人意料表征。
• 将理论应用于一般状态空间模型，通过线性化方法扩展至连续时间与非线性情形。
• 使用条件密度与已知测度，将理论推广至标准线性高斯模型之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分布污染存在的情况下，最小最大鲁棒卡尔曼滤波器在何种条件下能实现跟踪精度与抗异常值能力之间的最优权衡？
• RQ2 最优鲁棒滤波器在何种情况下会退化为简单的Huber型估计器（即rLS滤波器），其结构条件为何？
• RQ3 如何检验理想条件数学期望在观测创新项中的线性性，其统计基础是什么？
• RQ4 在鲁棒滤波背景下，SO邻域与eSO邻域之间存在何种关系，这对所得滤波器的鲁棒性有何影响？
• RQ5 所提出的框架如何扩展至非欧几里得、连续时间与非线性状态空间模型？

主要发现

• 最优鲁棒卡尔曼滤波器被推导为在分布不确定性下最小最大MSE问题的鞍点解，实现跟踪性能与异常值抑制之间的平衡。
• 对于系统内生与观测外生异常值，最小最大解均给出闭式表达式，涉及理想模型下的条件数学期望。
• 当理想条件数学期望在创新项中为线性时，最优滤波器退化为rLS滤波器，这是一种计算高效的Huber化形式。
• 推导出创新空间中线性的出人意料表征，从而为该条件提供新颖的最优检验方法。
• rLS滤波器在对应的eSO邻域上达到最小最大MSE界，确立了其在该线性条件下最优性。
• 通过适当的线性化与基于密度的公式化，该框架可推广至连续时间、非线性与非欧几里得状态空间模型。